[论文解读] Non-Local Phononic Crystals for Dispersion Customization and Undulation-point Dynamics

Arash Kazemi, Kshiteej J. Deshmukh+5 more|PubMed|Feb 1, 2023

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文提出了一种一维非局域声子晶体的解析逆向设计方法，通过非局域弹簧-质量相互作用，实现对色散关系的精确定制。通过精确求解逆问题，作者实现了任意单带和双带色散曲线，包括高阶临界点（如波动点），在这些点上由于群速度和相速度同时为零，波包变得高度局域化，从而实现了具有解析精度的新颖波操控策略。

ABSTRACT

Dispersion relations govern wave behaviors, and tailoring them is a grand challenge in wave manipulation. We demonstrate the inverse design of phononic dispersion using nonlocal interactions on one-dimensional spring-mass chains. For both single-band and double-band cases, we can achieve any valid dispersion curves with analytical precision. We further employ our method to design phononic crystals with multiple ordinary (roton or maxon) and higher-order (undulation) critical points and investigate their wave packet dynamics.

研究动机与目标

• 求解利用非局域相互作用设计具有任意色散关系的声子晶体的逆问题。
• 在单原子弹簧-质量链中实现单带和双带色散曲线的解析定制。
• 研究高阶临界点（特别是波动点）处的波动力学，其中色散曲线的一阶和二阶导数同时为零。
• 将设计方法扩展至具有两个不同能带的双原子非局域链。
• 提供一个实现奇异波行为（如局域化、非传播、非展宽）的波包按需设计的框架。

提出的方法

• 为具有最多至 $ N $ 阶非局域弹簧相互作用的单原子链建立运动方程，使用第 $ n $ 邻近原子的弹簧常数 $ k_n $。
• 通过布洛赫定理推导色散关系 $ \rho \to \rho $，得到 $ \rho^2(q) = \frac{2}{m} \left( \sum_{n=1}^N k_n - \sum_{n=1}^N k_n \cos(nqa) \right) $，该关系因非局域性而呈现非单调色散特性。
• 对于双带系统，基于半布里渊区定义的 $ K_0(q) $ 和 $ K_1(q) $ 推导耦合色散关系，以描述声学支和光学支。
• 构建解析逆向设计协议：给定目标 $ \Omega_-(q) $ 和 $ \Omega_+(q) $，计算 $ \alpha = m_2/m_1 $，$ A(q) = (\Omega_+^2 + \Omega_-^2)/2 $，以及 $ D(q) = (\Omega_+^2 - \Omega_-^2)/2 $，进而恢复 $ K_0(q) $ 和 $ K_1(q) $。
• 通过反演类似傅里叶的关系式，计算物理弹簧常数：当 $ n $ 为奇数时，$ k_n = \frac{2a}{\pi} \int_0^{\pi/(2a)} K_1 \cos(naq) \, dq $；当 $ n $ 为偶数时，$ k_n = -\frac{4a}{\pi} \int_0^{\pi/(2a)} K_0 \cos(naq) \, dq $。
• 通过时域仿真验证设计，展示在临界点（包括群速度和相速度为零的波动点）处的波包动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用一维声子晶体中的非局域相互作用，解析地设计任意单带色散关系？
• RQ2 如何在声子能带结构中工程化高阶临界点（特别是波动点），其动力学后果是什么？
• RQ3 如何为双原子非局域声子链中的任意双带色散关系建立逆向设计协议？
• RQ4 波包在波动点处的行为如何？此类点是否能导致高度局域化、非传播且不展宽的振动？
• RQ5 该解析方法在仅使用少量非局域弹簧的情况下，能在多大程度上实现目标色散曲线与实际色散曲线的高保真匹配？

主要发现

• 该逆向设计方法在单原子非局域声子晶体中实现了单带色散关系的精确解析定制，无需迭代优化。
• 该方法成功设计出包含多个普通临界点（如罗顿时/最大点）及高阶波动点的色散曲线，其中 $ \omega(q) $ 的一阶和二阶导数同时为零。
• 时域仿真结果证实，中心位于波动点的波包保持高度局域化，因为其同时具有零群速度和零群速度色散。
• 对于双带系统，即使仅使用 $ N = 20 $ 种非局域弹簧类型，该逆向设计协议也能以低 NRMSD 准确复现目标色散曲线。
• 通过调节目标色散曲线，该方法可按需设计出局域化（平坦能带）和传播波模式，适用于任意频率和波长。
• 该框架可扩展至连续体和高维系统，具有在振动弹性超材料中设计微模量核函数的潜力。