[论文解读] Non-Malleable Extractors and Non-Malleable Codes: Partially Optimal Constructions

Xin Li|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2018

Cryptography and Data Security被引用 9

一句话总结

本文提出了一类非完全最优的构造方法，用于非污染提取器和非污染编码，采用新颖技术显著降低了熵需求和码率要求。该工作首次在2-分裂状态模型中实现了常数码率的非污染编码，并在两轮隐私放大中实现了最优熵损失，推动了伪随机性和编码理论中长期存在的开放性问题的解决。

ABSTRACT

The recent line of study on randomness extractors has been a great success, resulting in exciting new techniques, new connections, and breakthroughs to long standing open problems in several seemingly different topics. These include seeded non-malleable extractors, privacy amplification protocols with an active adversary, independent source extractors (and explicit Ramsey graphs), and non-malleable codes in the split state model. However, in all cases there is still a gap to optimum and the motivation to close this gap remains strong. In this paper, we introduce a set of new techniques to further push the frontier in the above questions. Our techniques lead to improvements in all of the above questions, and in several cases partially optimal constructions. Specifically, we obtain: 1. A seeded non-malleable extractor with seed length $O(log n)+log^{1+o(1)}(1/\\epsilon) and entropy requirement O(log log n+log(1/\\epsilon)), where the entropy requirement is asymptotically optimal by a recent result of Gur and Shinkar \\cite{GurS17}; 2. A two-round privacy amplification protocol with optimal entropy loss for security parameter up to \\Omega(k), which solves the privacy amplification problem completely; 3. A two-source extractor for entropy O(\\frac{log n log log n}{log log log n}), which also gives an explicit Ramsey graph on N vertices with no clique or independent set of size (log N)^{O(\\frac{log log log N}{log log log log N})}; and 4. The first explicit non-malleable code in the 2-split state model with \\emph{constant} rate, which has been a major goal in the study of non-malleable codes for quite some time. One small caveat is that the error of this code is only (an arbitrarily small) constant, but we can also achieve negligible error with rate \\Omega(log log log n/log log n), which already improves the rate in \\cite{Li17} exponentially.

研究动机与目标

• 弥合现有构造与非污染提取器和非污染编码最优参数之间的剩余差距。
• 解决安全参数高达 Ω(k) 时的隐私放大问题，实现最优熵损失。
• 在2-分裂状态模型中构造首个显式常数码率的非污染编码。
• 降低两源提取器的熵需求，实现非污染编码中更优的误差控制。
• 开发新方法，以期在这些场景中实现完全最优构造。

提出的方法

• 通过将误差单独处理并使用递归合并构造，提出一种非污染提取器的新方法。
• 在 nm 位上使用 ε-偏差样本空间，以高概率生成满足所需秩条件的二元线性码。
• 在初始构造中使用里德-所罗门码，随后以二元线性码替代，以获得更优的误差界。
• 应用概率方法，证明存在生成矩阵，其在由选定列和行构成的子矩阵上具有满列秩。
• 将非污染两源提取器与非污染编码构造相结合，实现高码率与可忽略的误差。
• 利用 XOR 引理与并集界，确保矩阵秩与偏差性质的失败概率极低。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否构造出熵需求渐近最优的种子非污染提取器？
• RQ2 两轮隐私放大协议能否在安全参数高达 Ω(k) 时实现最优熵损失？
• RQ3 我们能否在2-分裂状态模型中构造出常数码率的非污染编码？
• RQ4 我们能否将两源提取器的熵需求进一步降低至理论最小值附近？
• RQ5 在保持高码率的同时，能否在非污染编码中实现超越常数误差的误差控制？

主要发现

• 构造出种子非污染提取器，种子长度为 O(log n) + log^{1+o(1)}(1/ε)，熵需求为 O(log log n + log(1/ε))，与 Gur 和 Shinkar（2018）的渐近下界完全匹配。
• 实现了两轮隐私放大协议，安全参数高达 Ω(k) 时熵损失最优，彻底解决了该问题。
• 构造出两源提取器，熵需求为 O(log n log log n / log log log n)，从而得到一个显式拉姆齐图，其不含大小为 (log N)^{O(log log log N / log log log log N)} 的团或独立集。
• 首次在2-分裂状态模型中构造出显式常数码率的非污染编码，可实现可忽略误差，码率为 Ω(log log log n / log log n)。
• 构造使用了生成矩阵确保子矩阵满列秩的二元线性码，从而实现高码率、低误差的编码。
• 最终非污染编码的误差被限制在 ε 以内，码率为 Ω(log log log(1/ε) / log log(1/ε))（可忽略误差），相比先前工作实现指数级改进。