[论文解读] Non-negative submodular stochastic probing via stochastic contention resolution schemes

Marek Adamczyk|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Cryptography and Data Security参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的随机竞争解决方案，用于求解非负次模随机探测问题，扩展了先前针对单调次模目标的研究。通过借鉴Chekuri等人提出的竞争解决方案，并为传递拟阵开发一种新方案，作者在非单调次模函数上实现了常数因子近似，优于此前在该设置下失效的现有方法。

ABSTRACT

The abstract model of stochastic probing was presented by Gupta and Nagarajan (IPCO'13), and provides a unified view of a number of problems. Adamczyk, Sviridenko, Ward (STACS'14) gave better approximation for matroid environments and linear objectives. At the same time this method was easily extendable to settings, where the objective function was monotone submodular. However, the case of non-negative submodular function could not be handled by previous techniques. In this paper we address this problem, and our results are twofold. First, we adapt the notion of contention resolution schemes of Chekuri, Vondrák, Zenklusen (SICOMP'14) to show that we can optimize non-negative submodular functions in this setting with a constant factor loss with respect to the deterministic setting. Second, we show a new contention resolution scheme for transversal matroids, which yields better approximations in the stochastic probing setting than the previously known tools. The rounding procedure underlying the scheme can be of independent interest --- Bansal, Gupta, Li, Mestre, Nagarajan, Rudra (Algorithmica'12) gave two seemingly different algorithms for stochastic matching and stochastic $k$-set packing problems with two different analyses, but we show that our single technique can be used to analyze both their algorithms.

研究动机与目标

• 为解决非负次模随机探测中近似算法的空白，此前的方法在非单调目标下失效。
• 将竞争解决方案的适用性扩展到随机探测设置中的非单调次模函数。
• 为传递拟阵专门开发一种新的竞争解决方案，以获得更优的近似保证。
• 通过单一、可分析的框架，统一并推广现有的随机匹配与k-集合打包算法。
• 通过竞争解决，将迭代随机舍入方法扩展至处理非单调次模目标。

提出的方法

• 将Chekuri等人提出的竞争解决方案（CRS）概念适配至随机探测，实现对非负次模函数的优化。
• 提出一种针对传递拟阵的新随机舍入过程，该过程广义化并分析了Bansal等人提出的两种此前不同的算法。
• 利用多线性扩展和上鞅分析，界定在活动约束下每个元素被探测的概率。
• 将Doob的可选停时定理由理应用于从图中探测与阻塞过程导出的上鞅。
• 在凸函数上应用Jensen不等式，推导出在元素处于活动状态条件下的探测概率下界。
• 将迭代随机舍入与CRS结合，以在内层（解）和外层（探测）独立系统下保持可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 竞争解决方案能否被适配，以在随机探测中实现对非负次模函数的常数因子近似？
• RQ2 为传递拟阵设计的何种新竞争解决方案可获得优于现有工具的近似比？
• RQ3 能否通过单一框架统一分析此前分别分析的随机匹配与k-集合打包算法？
• RQ4 如何将迭代随机舍入方法扩展至随机设置中非单调次模目标？
• RQ5 在一般约束下，能为处于活动状态的元素保证的最小探测概率是多少？

主要发现

• 本文在非负次模随机探测中实现了常数因子近似，解决了先前方法仅适用于单调目标的关键局限。
• 为传递拟阵开发了一种新的竞争解决方案，相比先前工具获得了更优的近似比。
• 所提出的框架统一了Bansal等人关于随机匹配与k-集合打包的两种看似不同的算法分析，表明它们源于同一基础技术。
• 该方法保证在适当条件下，每个活跃元素被探测的概率至少为1/3，该结论通过上鞅和Jensen不等式推导得出。
• 通过竞争解决方案的创新应用，将分析从迭代随机舍入扩展至非单调次模目标。
• 该方法通过整合四篇基础论文的洞见，形成一个连贯的框架，实现了对先前结果的推广，并具备更广泛的应用潜力。