[论文解读] Non-Noether symmetries in Hamiltonian Dynamical Systems

George Chavchanidze|ArXiv.org|May 3, 2004

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 42被引用 9

一句话总结

本文建立了一套几何框架，将非诺特定称对称性与哈密顿系统中的守恒律及可积性结构联系起来。它表明，此类对称性自然生成李对（Lax pairs）、双哈密顿结构和双复形（bicomplexes），并引入了一个杨-巴克斯特定理型方程，以确保相关守恒量的对合性，其应用涵盖可积模型如 Toda 链和 KdV 方程。

ABSTRACT

We discuss geometric properties of non-Noether symmetries and their possible applications in integrable Hamiltonian systems. Correspondence between non-Noether symmetries and conservation laws is revisited. It is shown that in regular Hamiltonian systems such a symmetries canonically lead to a Lax pairs on the algebra of linear operators on cotangent bundle over the phase space. Relationship between the non-Noether symmetries and other wide spread geometric methods of generating conservation laws such as bi-Hamiltonian formalism, bidifferential calculi and Frolicher-Nijenhuis geometry is considered. It is proved that the integrals of motion associated with the continuous non-Noether symmetry are in involution whenever the generator of the symmetry satisfies a certain Yang-Baxter type equation. Action of one-parameter group of symmetry on algebra of integrals of motion is studied and involutivity of group orbits is discussed. Hidden non-Noether symmetries of Toda chain, nonlinear Schrodinger equation, Korteweg-de Vries equations, Benney system, nonlinear water wave equations and Broer-Kaup system are revealed and discussed.

研究动机与目标

• 阐明非诺特定称对称性在哈密顿系统中的几何作用，超越诺特定理的范畴。
• 在正规哈密顿系统中，建立非诺特定称对称性与守恒律之间的对应关系。
• 统一非诺特定称对称性与关键可积性结构，如李对、双哈密顿形式及双复形。
• 通过一个杨-巴克斯特定理型方程，推导出保证由对称性生成的守恒量对合性的充分条件。
• 揭示主要可积系统（如 KdV、非线性薛定谔方程和 Benney 方程）中隐藏的非诺特定称对称性。

提出的方法

• 利用双向量场与泊松结构，重新表述吕茨基关于非诺特定称对称性与守恒律的定理。
• 从泊松双向量与对称性生成元出发，在余切丛上构造李对。
• 引入一个涉及对称性生成元的杨-巴克斯特定理型方程，以保证守恒量的对合性。
• 利用李导数，从单一非诺特定称对称性生成无穷序列的守恒律。
• 通过泊松双向量的形变，建立非诺特定称对称性与双哈密顿结构之间的对应关系。
• 从对称性构造一种特殊双复形，推广了无限维情形下的德拉姆复形。

实验结果

研究问题

• RQ1 非诺特定称对称性如何在正规哈密顿系统中生成守恒律？
• RQ2 与非诺特定称对称性自然关联的几何结构（如李对、双哈密顿系统或双复形）是什么？
• RQ3 在何种条件下，由非诺特定称对称性生成的守恒量族是彼此对合的？
• RQ4 非诺特定称对称性能否用于重构或解释已知的可积性结构（如双哈密顿层级）？
• RQ5 非诺特定称对称性在无限维可积系统（如 KdV 或 Benney 层级）中如何表现？

主要发现

• 通过泊松双向量与对称性生成元，非诺特定称对称性在余切丛上自然生成李对。
• 若对称性生成元满足特定的杨-巴克斯特定理型方程，则其生成的守恒量处于对合状态。
• Benney 系统的对称性 (15) 通过重复应用李导数，生成无穷多组守恒量：$ J^{(0)} = \int w\,dx $, $ J^{(1)} = 2\int v\,dx $, $ J^{(2)} = 8\int u\,dx $, 等等。
• 同一对称性通过泊松双向量 $ W $ 的李导数 $ \hat{W} = [E, W] $，为 Benney 系统生成双哈密顿结构。
• Benney 系统的守恒律是对合的，因为由 $ E = W(s) $ 定义的1-形式 $ s $ 满足条件 $ [W[W(s),W](s)] = \frac{1}{2}[W(s),W](s) $，从而确保了定理8的对合性准则。
• 非诺特定称对称性被证明是弗罗利彻-尼延胡伊斯算子与双复形结构的根源，表明此类几何对象可能源自可积系统中隐藏的对称性。