[论文解读] Non-normal purely log terminal centres in characteristic $p \geq 3$

Fabio Bernasconi|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文针对每个满足 $p \geq 3$ 的素数 $p$，利用违反 Kodaira vanishing 的 Totaro Fano 代数簇，构造了一个二维数为 $2p+2$ 的纯粹对数终端对 $(Z, S)$，其 plt 中心 $S$ 非正规。关键贡献在于证明了在正特征情况下，plt 中心不一定是正规的，从而否定了特征零情形下的性质，并揭示了 Hacon-Mäc Kernan 提升引理在此设定下的失效。

ABSTRACT

In this note we show, building on a recent work of Totaro, that for every prime number $p \geq 3$ there exists a purely log terminal pair $(Z,S)$ of dimension $2p+2$ whose plt centre $S$ is not normal.

研究动机与目标

• 研究在正特征下，plt 中心是否如在特征零下一样必然正规。
• 将正特征下已知的病态现象扩展至三维以上及特征二以外的情形。
• 证明对于 $p \geq 3$，plt 中心的正规性一般不成立，从而挑战特征零 MMP 中的预期。
• 表明正特征下，pluri-log-canonical 形式上的 Hacon-Mäc Kernan 提升引理可能失效。
• 构造具有非零 $H^2(\mathcal{O}_Z)$ 的终端 Fano 代数簇，揭示新的上同调病态现象。

提出的方法

• 利用 Totaro 构造的光滑 Fano 代数簇（维数为 $2p+1$），其满足 $H^1(X, \mathcal{O}_X(A)) \neq 0$ 且 $-K_X = 2A$，从而违反 Kodaira vanishing。
• 在该 Fano 代数簇上构造仿射锥 $Z = C_a(X, \mathcal{O}_X(A))$，得到维数为 $2p+2$ 的终端奇点，且存在除子 $S$ 满足 $K_Z + S \sim 0$。
• 通过正规化映射 $\nu: S^\nu \to S$ 的非满射性，证明 $S$ 非正规，其依据为限制映射中 $H^0$-满射性的失败。
• 应用投影公式及射影丛 $Y = \mathbb{P}_X(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{O}_X(-A))$ 上相对 canonical 簇的性质，验证 $-K_Y$ 的充分性。
• 证明 $-K_Y$ 的零点集为空，从而得出 $-K_Y$ 是 ample 的，因此 $Y$ 是 Fano 代数簇。
• 利用锥构造的上同调性质，证明终端 Fano 代数簇 $Z$ 满足 $H^2(Z, \mathcal{O}_Z) \neq 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征 $p \geq 3$ 下，plt 中心是否如在特征零下一样必然正规？
• RQ2 正特征下 Kodaira vanishing 的失效是否意味着 plt 中心可以是非正规的？
• RQ3 正特征下，pluri-log-canonical 形式上的 Hacon-Mäc Kernan 提升引理是否可能失效？
• RQ4 是否存在一个界限 $p_0(n)$，使得当 $p \geq p_0(n)$ 时，$n$-维 plt 中心均为正规？
• RQ5 正特征下的终端 Fano 代数簇是否总是满足 $H^2(\mathcal{O}_Z) = 0$，还是该群可以非零？

主要发现

• 对每个素数 $p \geq 3$，存在一个维数为 $2p+2$ 的纯粹对数终端对 $(Z, S)$，其中 $S$ 非正规。
• plt 中心 $S$ 是一个具有终端奇点的仿射代数簇 $Z$ 上的素除子，且 $K_Z + S$ 是 Cartier 的。
• 对任意 $m \geq 0$，限制映射 $H^0(Y, \mathcal{O}_Y(m(K_Y + S^Y))) \to H^0(S^Y, \mathcal{O}_{S^Y}(mK_{S^Y}))$ 非满射，表明 Hacon-Mäc Kernan 提升引理失效。
• 存在一个维数为 $2p+2$ 的终端 Fano 代数簇 $Z$，满足 $H^2(Z, \mathcal{O}_Z) \neq 0$，其构造为 Totaro Fano 代数簇的射影锥。
• 射影丛 $Y = \mathbb{P}_X(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{O}_X(-A))$ 是 Fano 代数簇，$-K_Y$ 既 ample 又 big，从而确认了锥的 Fano 性质。
• 该构造证实了在正特征下，Fano 代数簇的 Kodaira vanishing 失效，且此失效直接导致了非正规 plt 中心的出现。