[论文解读] Non null controllability of Stokes equations with memory

Enrique Fernández‐Cara, José Lucas F. Machado+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 41被引用 9

一句话总结

本文证明，即使在使用全边界控制或分布控制的情况下，带有记忆项的三维Stokes方程也不存在零可控性。通过使用对偶性论证并构造出能够抵抗稳定化的特定初始数据，作者证明了可观测性不等式的失效，从而表明记忆项从根本上阻碍了可控性。

ABSTRACT

In this paper, we study the null controllability of the three-dimensional Stokes equations with a memory term. For any positive final time $T>0$, we construct initial conditions such that the null controllability does not hold even if the controls act on the whole boundary. Moreover, we also prove that this negative result holds for distributed controls.

研究动机与目标

• 研究带有记忆项的三维Stokes方程在边界控制或分布控制下是否具有零可控性。
• 确定记忆项的存在是否破坏Stokes系统标准的可控性性质。
• 通过构造无法在最终时刻T被驱动至零的初始数据，建立一个否定性结果。
• 将已知的带有记忆项的热方程不可控性结果推广至更复杂的带有记忆项的Stokes系统。
• 证明伴随系统的可观测性不等式不成立，从而表明缺乏零可控性。

提出的方法

• 利用零可控性与伴随系统可观测性不等式之间的对偶性。
• 构造显式的初始数据 y₀ ∈ H(Ω)，使得解在时间T无法达到零。
• 基于可观测性不等式失效的矛盾论证。
• 将Guerrero与Imanuvilov（2013）关于带有记忆项的热方程所采用的技术方法，应用于Stokes系统。
• 分析伴随系统：−ϕt − Δϕ − b∫ₜᵀ e⁻ᵃ⁽ˢ⁻ᵗ⁾Δϕ(·,s)ds + ∇q = 0，其中 ϕ(·,T) = ϕ₀。
• 证明由于记忆积分项的存在，无法存在一致的可观测性估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维Stokes方程中的记忆项是否会导致边界控制下零可控性的失效？
• RQ2 在存在记忆积分项的情况下，伴随系统的可观测性不等式是否仍能成立？
• RQ3 是否存在特定的初始数据 y₀ ∈ H(Ω)，使得对任意控制 v ∈ L²(γ×(0,T))，都无法在时间T将解驱动至零？
• RQ4 当使用分布控制而非边界控制时，零可控性的缺失是否依然存在？
• RQ5 标准的Carleman不等式方法是否可被调整以证明此类记忆-积分-微分系统的可观测性？

主要发现

• 对于任意 T > 0，带有记忆项的三维Stokes方程均不存在零可控性。
• 存在初始条件 y₀ ∈ H(Ω)，使得任意边界控制 v ∈ L²(γ×(0,T)) 均无法在时间T将解驱动至零。
• 相同的不可控性结果在作用于Ω中非空开子集ω ⊂ Ω的分布控制下依然成立。
• 零可控性的失效可归因于伴随系统可观测性不等式的崩溃。
• 记忆项引入了结构性障碍，使得标准Carleman估计无法应用。
• 该结果将先前关于标量热方程带记忆项的不可控性结果，推广至带有记忆项的向量值、不可压缩Stokes系统。