[论文解读] Non-optimal levels of a reducible mod l modular representation

Hwajong Yoo|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文建立了在平方自由导子 $N$ 下存在权-2新形式的充分条件，其模 $\ell$ 伽罗瓦表示为可约表示，且对整除 $N$ 的素数 $p$，$U_p$-特征值指定为 $\pm1$。基于 Ribet 的精确序列和典型模形式曲线的几何结构，本文刻画了使得此类新形式存在的可接受 $t$-元组素数，尤其在 $\ell \geq 5$ 且表示为 $\mathbbm{1} \oplus \chi_\ell$ 的情形。主要贡献在于对低秩情形下此类非最优导子的完整分类。

ABSTRACT

Let $\ell \geq 5$ be a prime and let $N$ be a square-free integer prime to $\ell$. For each prime $p$ dividing $N$, let $a_p$ be either $1$ or $-1$. We give sufficient criteria for the existence of a newform $f$ of weight 2 for $Γ_0(N)$ such that the mod $\ell$ Galois representation attached to $f$ is reducible and $U_p f = a_p f$ for primes $p$ dividing $N$. The main techniques used are level raising methods based on an exact sequence due to Ribet.

研究动机与目标

• 确定哪些非最优导子 $N$ 可支持权-2新形式，其模 $\ell$ 伽罗瓦表示同构于 $\mathbbm{1} \oplus \chi_\ell$。
• 刻画可接受的 $t$-元组不同素数 $p_1, \dots, p_t$，使得水平为 $N = \prod p_i$ 的新形式存在，且其指定的 $U_p$-特征值为 $\pm1$。
• 将提升导子方法扩展至可约情形，尤其在模 $\ell$ 表示不可约时，利用 Ribet 的精确序列与典型模形式曲线的雅可比簇。
• 研究 Skorobogatov 子群与退化映射在控制雅可比簇之间映射的核中的作用，这对提升导子至关重要。
• 证明 Ribet 的必要条件在大多数情形下亦为充分条件，尤其在 $t \leq 4$ 时，并陈述例外情形的充分条件。

提出的方法

• 利用 Ribet 的精确序列，将 Hecke 代数与伽罗瓦表示的结构关联至更高导子下新形式的存在性。
• 应用基于典型模形式曲线雅可比簇几何的提升导子技术，特别关注 $J_0^{pD}(N)$ 与 $J_0^{pD}(Np)$ 之间退化映射的核。
• 采用 $p$ 处的 Skorobogatov 子群 $\Sigma_p$，其通过典型模形式曲线的无分支覆盖定义，且已知其 $U_p$-作用为 $-1$。
• 分析 Hecke 算子 $U_p$、$U_q$ 与 $T_k$ 在 Skorobogatov 子群上的作用，表明 $U_p$ 作用为 $-1$，$U_q$ 作用为 $1$，且当 $k \nmid pDN$ 时 $T_k$ 作用为 $k+1$。
• 利用退化映射 $J_0^{pr}(1) \times J_0^{pr}(1) \to J_0^{pr}(q)$ 的核 $K$，其包含 $\Sigma_r$ 的反对角嵌入，以检测 Hecke 模中的非平凡 $\ell$-挠。
• 依赖重数一定理与 $\mathbb{F}_p$ 上的分量群计算，以控制伽罗瓦表示模 $\ell$ 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些由不同素数 $(p_1, \dots, p_t)$ 构成的 $t$-元组，满足 $N = \prod p_i$，存在权-2、水平为 $N$ 的新形式 $f$，使得 $\overline{\rho}_f \simeq \mathbbm{1} \oplus \chi_\ell$ 且 $U_{p_i}f = a_i f$，其中 $a_i = \pm1$？
• RQ2 在 $p$ 为不整除 $N$ 的素数时，何种条件下可将导子从 $N$ 提升至 $Np$，使得模 $\ell$ 伽罗瓦表示保持可约且 $U_p$-特征值被保留？
• RQ3 在何种条件下，可接受性的必要条件（如当 $j > s$ 时 $p_j \equiv -1 \pmod{\ell}$，且当 $s = t$ 时 $\ell \mid \prod_{i=1}^t (p_i - 1)$）也构成充分条件？
• RQ4 Skorobogatov 子群 $\Sigma_p$ 在典型模形式曲线雅可比簇之间退化映射的核中起何作用，其如何影响更高导子下新形式的存在性？
• RQ5 在哪些例外情形（如 $t=2,3,4$）下，标准提升导子技术失效，且需何种更复杂的条件以确保可接受性？

主要发现

• 当 $s = 1$，$t \geq 2$，且对所有 $2 \leq j \leq t$ 有 $p_j \equiv -1 \pmod{\ell}$ 时，$t$-元组 $(p_1, \dots, p_t)$ 对 $s$ 是可接受的，条件为 $\ell \geq 5$。
• 当 $s = t$ 为偶数且 $t \geq 4$ 时，若满足定理 6.4 中所述的关于分量群与 Hecke 模结构的复杂条件，则可接受性成立。
• 当 $s = t$ 为奇数且 $\ell \mid \prod_{i=1}^t (p_i - 1)$ 时，$t$-元组是可接受的，从而在此情形下给出完整刻画。
• 当 $s+1 = t$ 且 $t$ 为偶数，且 $p_t \equiv -1 \pmod{\ell}$ 时，$t$-元组是可接受的，从而扩展了提升导子过程。
• 当 $s < t$ 且 $t$ 为偶数时，若 $(p_1, \dots, p_{t-1})$ 对 $s$ 可接受，或 $(p_2, \dots, p_t)$ 对 $s-1$ 可接受，则可接受性得以保持，前提是满足相同的奇偶性与同余条件。
• 当 $t=4$，$s=4$ 时，可接受性条件等价于 $\ell \mid \prod_{i=1}^4 (p_i - 1)$ 且对所有 $i=1,2,3,4$ 有 $p_i \equiv -1 \pmod{\ell}$，前提是定理 6.4 中的更复杂条件成立。