[论文解读] Non-perturbative Schottky problem and stable equations for the hyperelliptic locus

Giulio Codogni|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 1

一句话总结

本文证明了由特定的偶性、单模、正定二次型（秩为24、32和48）构造的θ级数之差，恰好在阿贝尔簇的主极化模空间内的双曲型曲面（hyperelliptic locus）上消失。通过利用Satake紧化边界处的几何性质以及主极化阿贝尔簇模空间在乘积运算下的幺半群结构，本文证明了在双曲型曲面上消失的稳定模形式的理想，由此类θ级数之差生成。

ABSTRACT

It is well known that, fixed an even, unimodular, positive definite quadratic form, one can construct a modular form in each genus; this form is called the theta series associated to the quadratic form. Varying the quadratic form, one obtains the ring of stable modular forms. We show that the differences of theta series associated to specific pairs of quadratic forms vanish on the locus of hyperelliptic Jacobians in each genus. In our examples, the quadratic forms have rank 24, 32 and 48. The proof relies on a geometric result about the boundary of the Satake compactification of the hyperelliptic locus. We also study the monoid formed by the moduli space of all principally polarised abelian varieties, the operation being the product of abelian varieties. We use this construction to show that the ideal of stable modular forms vanishing on the hyperelliptic locus in each genus is generated by differences of theta series.

研究动机与目标

• 通过识别在双曲型曲面上消失的稳定模形式，解决非微扰的Schottky问题。
• 在所有亏格下表征在双曲型曲面上消失的稳定模形式的理想。
• 建立Satake紧化双曲型曲面边界与θ级数之差消失之间的几何联系。
• 证明主极化阿贝尔簇模空间的幺半群结构可支持通过θ级数之差生成该理想。

提出的方法

• 从秩为24、32和48的偶性、单模、正定二次型构造θ级数。
• 利用Satake紧化边界处的几何性质，分析此类θ级数之差在双曲型曲面上的消失性。
• 利用主极化阿贝尔簇模空间上的幺半群结构，其中运算为阿贝尔簇的乘积。
• 通过该幺半群构造，证明在双曲型曲面上消失的稳定模形式的理想由θ级数之差生成。
• 借助由变化二次型所生成的稳定模形式环，来定义相关的模形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有亏格下，哪些稳定模形式在双曲型曲面上消失？
• RQ2 此类模形式的理想如何通过代数方式生成？
• RQ3 Satake紧化边界处的哪些几何性质导致了θ级数之差的消失？
• RQ4 主极化阿贝尔簇模空间上的幺半群结构能否用于生成双曲型消失形式的理想？
• RQ5 由秩为24、32和48的特定二次型构造的θ级数之差，是否能完全捕捉在双曲型曲面上消失的稳定模形式的理想？

主要发现

• 与特定偶性、单模、正定二次型对（秩为24、32和48）相关的θ级数之差，在所有亏格下于双曲型曲面上消失。
• 在双曲型曲面上消失的稳定模形式的理想，由此类θ级数之差生成。
• Satake紧化双曲型曲面边界的几何结构，为证明这些差值的消失提供了关键工具。
• 主极化阿贝尔簇模空间上的幺半群结构，通过阿贝尔簇的乘积支持了该理想的生成。
• 该构造证实，稳定模形式环能够捕捉解决双曲型曲面非微扰Schottky问题所必需的模形式。