[论文解读] Non-proper complete minimal surfaces embedded in H^2 x R

M. Magdalena Rodríguez, Giuseppe Tinaglia|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文在 $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 中构造了一类非完备、完备的极小曲面，这些曲面在竖直平移或双曲/抛物螺旋运动下不变。作者利用 Jenkins-Serrin 定理以及沿测地线边界进行的 Schwarz 反射，构造了商空间中具有有限总曲率的螺旋-施克尔（helicoidal-Scherk）型例子，表明 Calabi-Yau 猜想以及 $ℂ^3$ 中的完备性结果无法推广至 $ℂ^2 \times \mathbb{R}$。

ABSTRACT

Examples of complete minimal surfaces properly embedded in H^2 x R have been extensively studied and the literature contains a plethora of nontrivial ones. In this paper we construct a large class of examples of complete minimal surfaces embedded in H^2 x R, not necessarily proper, which are invariant by a vertical translation or by a hyperbolic or parabolic screw motion. In particular, we construct a large family of non-proper complete minimal disks embedded in H^2 x R invariant by a vertical translation and a hyperbolic screw motion and whose importance is twofold. They have finite total curvature in the quotient of H^2 x R by the isometry, thus highlighting a different behaviour from minimal surfaces embedded in R^3 satisfying the same properties. And they show that the Calabi-Yau conjectures do not hold for embedded minimal surfaces in H^2 x R.

研究动机与目标

• 在 $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 中构造完备、嵌入的极小曲面，这些曲面不一定是完备的，以填补此类曲面分类中的空白。
• 证明嵌入极小曲面的 Calabi-Yau 猜想在 $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 中不成立，与 $ℂ^3$ 中的情形相反。
• 表明在商空间中具有有限总曲率并不意味着完备性，这与 $ℂ^3$ 中的结果形成对比。
• 通过双曲空间中的反射原理和 Jenkins-Serrin 型边界值问题，推广已知的极小曲面构造方法。

提出的方法

• 构造从 $ℂ^2$ 的 Poincaré 圆盘模型中一个测地多边形上的极小图开始，边界值在三条边上分别为 0、h 和 $+\infty$，利用 Jenkins-Serrin 定理。
• 通过在边界上连续对竖直测地线进行 Schwarz 反射，将基本块扩展为一条沿竖直线有边界的单连通极小曲面。
• 所得曲面在竖直平移和双曲螺旋运动下不变，后者通过旋转与竖直平移的复合得到。
• 在竖直线反射后，得到一个在两种等距变换下不变的完备、嵌入极小曲面，称为螺旋-施克尔型例子。
• 通过使用顶点位于无穷远的理想多边形及交替的 $\pm\infty$ 边界值，将该方法推广至在抛物螺旋运动下不变的曲面。
• 通过在弧上允许边界函数 $f$，并利用旋转与反射，构造出非周期性的例子，生成非图型的嵌入极小曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 中，具有商空间中有限总曲率的完备、嵌入极小曲面是否必须是完备的？
• RQ2 在 $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 中，是否存在非完备但具有有限总曲率的完备极小曲面？若存在，如何构造？
• RQ3 嵌入极小曲面的 Calabi-Yau 猜想在 $ℂ^3$ 中的结论在 $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 的设定下能推广到何种程度？
• RQ4 反射原理与双曲空间中的 Jenkins-Serrin 边界值问题如何促成具有特定等距对称性的新极小曲面族的构造？

主要发现

• 作者构造了一大类在 $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 中非完备、完备的极小盘，这些曲面在竖直平移和双曲螺旋运动下不变，称为螺旋-施克尔型例子。
• 这些螺旋-施克尔型例子在竖直平移或双曲螺旋运动的商空间中具有有限总曲率，尽管它们并非完备的。
• 此类例子的存在表明，Calabi-Yau 猜想在 $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 中的嵌入极小曲面不成立，因为 Colding 与 Minicozzi 在 $ℂ^3$ 中关于完备性的结果无法推广。
• 通过 Schwarz 反射与 Jenkins-Serrin 解的构造方法，即使曲面不完整，也能在商空间中产生具有有限总曲率的曲面，凸显了与 $ℂ^3$ 的关键差异。
• 还构造了在抛物螺旋运动下不变的推广型例子，其在商空间中具有有限总曲率，且这些例子包含了文献中已知的特例。
• 通过在弧上允许连续边界函数 $f$，并利用旋转与反射对称性，得到了非周期性例子，生成了非图型的嵌入极小曲面。