[论文解读] Non-random overshoots of Lévy processes

Matija Vidmar|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文刻画了在某一水平上首次通过时过冲量几乎必然恒定的 Lévy 过程，证明此类过程要么是谱负的（无正跳），要么是跳跃大小恰好为 $ h $、跳跃仅限于格点 $\mathbb{Z}_h$ 的复合泊松过程。该结果基于路径分析与强马氏性质，将点蚀理论推广至具有确定性过冲量的更广类别的过程。

ABSTRACT

The class of Levy processes for which overshoots are almost surely constant quantities is precisely characterized.

研究动机与目标

• 确定所有首次通过某一水平时过冲量几乎必然恒定的 Lévy 过程，填补点蚀理论中的空白。
• 将已知的谱负 Lévy 过程过冲量为零的结果推广至所有具有非随机过冲量的过程。
• 确定非谱负 Lévy 过程是否也能表现出确定性过冲量，若能，则在何种结构条件下成立。
• 利用强马氏性质与路径连续性论证，对这类过程建立完整刻画。

提出的方法

• 使用首通过时间 $T_x = \inf\{t \geq 0 : X_t \geq x\}$ 与过冲量 $R_x = X_{T_x} - x$ 定义过冲量分布。
• 应用强马氏性质，将水平 $x$ 处的过冲量分布分解为来自更小水平的增量。
• 引入 $\mathsf{P}$-平凡性的概念，以形式化在事件 $\{T_x < \infty\}$ 上过冲量几乎必然恒定的性质。
• 利用 Lévy 过程的拟左连续性，证明在 $\{T_x < \infty\}$ 上几乎必然有 $T_x = \hat{T}_x$，从而保证通过时刻的路径连续性。
• 通过反证法与对集合 $\mathcal{A}$（具有确定性过冲量的水平集合）的归纳法，证明 $\mathcal{A}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密，最终等于 $\mathbb{R}$。
• 利用 Lévy 三元组与 Lévy 测度的结构，证明仅当复合泊松过程的跳跃大小恰好为 $h$ 且跳跃限于格点 $\mathbb{Z}_h$，或过程无正跳时，条件才成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 Lévy 过程在某一给定水平上的过冲量几乎必然恒定？
• RQ2 非谱负 Lévy 过程是否也能表现出非随机过冲量，若能，其条件为何？
• RQ3 具有确定性过冲量的 Lévy 过程类是否严格大于谱负过程类？
• RQ4 Lévy 三元组与 Lévy 测度的哪些结构性质是过冲量非随机的必要且充分条件？
• RQ5 强马氏性质与路径连续性如何约束可能的过冲量分布？

主要发现

• 唯一具有几乎必然恒定过冲量的 Lévy 过程是那些谱负（无正跳）或跳跃限于格点 $\mathbb{Z}_h$ 且跳跃大小恰好为 $h$ 的复合泊松过程。
• 对于此类过程，水平 $x$ 处的过冲量几乎必然等于 $f(x)$，其中 $f(x)$ 是 $x$ 的确定性函数。
• 使得过冲量 $\mathsf{P}$-平凡的水平集合在 $\mathbb{R}$ 中稠密，且在假设条件下等于 $\mathbb{R}$。
• 该结果在最小假设下成立：过冲量在 $\{T_x < \infty\}$ 上 $\mathsf{P}$-平凡，且过程为 càdlàg 且具有独立增量。
• 证明依赖于强马氏性质与拟左连续性，以证明在 $\{T_x < \infty\}$ 上几乎必然有 $T_x = \hat{T}_x$，从而保证通过时刻的路径连续性。
• 该刻画是精确的：没有任何其他 Lévy 过程能具有非随机过冲量，即使过冲量分布退化亦不可。