[论文解读] Non-relativistic expansion of the Einstein-Hilbert Lagrangian

Dennis Schrøder Hansen, Jelle Hartong+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2019

Cosmology and Gravitation Theories被引用 8

一句话总结

本文提出对爱因斯坦-希尔伯特拉格朗日量在光速的逆幂次上进行系统性、协变展开，得到一个至下一阶下一阶（NNLO）的非相对论性引力（NRG）拉格朗日量。通过基于牛顿-卡坦纳几何（Newton-Cartan geometry）且具有挠率的联络的场重新定义，该方法推导出一个非相对论性有效理论，其能重现牛顿引力，并包含引力时间膨胀等相对论性修正。

ABSTRACT

We present a systematic technique to expand the Einstein-Hilbert Lagrangian in inverse powers of the speed of light squared. The corresponding result for the non-relativistic gravity Lagrangian is given up to next-to-next-to-leading order. The techniques are universal and can be used to expand any Lagrangian theory whose fields are a function of a given parameter.

研究动机与目标

• 开发爱因斯坦-希尔伯特拉格朗日量在光速逆幂次上的系统性、逐阶展开，适用于任何具有小参数的场论。
• 推导一个能捕捉牛顿引力及引力时间膨胀等相对论性修正的非相对论性引力（NRG）拉格朗日量。
• 建立一个通用框架，通过场重新定义与重标度拉格朗日量的泰勒展开，对任意拉格朗日量理论在参数（此处为 $ c^{-2} $）上进行展开。
• 证明在非相对论极限下，NNLO 阶的 NRG 拉格朗日量能正确重现原相对论性理论的运动方程。
• 展示引力时间膨胀与后牛顿效应如何通过 NRG 形式在非相对论极限下自然涌现。

提出的方法

• 通过 $ \tilde{\rho} = c^{-2} $ 对场进行重标度，使得完整拉格朗日量展开为 $ \mathcal{L} = c^N \tilde{\mathcal{L}}(\sigma) $，其中 $ \sigma = c^{-2} $。
• 对 $ \tilde{\mathcal{L}}(\sigma) $ 在 $ \sigma = 0 $ 附近进行泰勒展开，得到领先阶（LO）、下一阶（NLO）与下一阶下一阶（NNLO）项。
• 将场定义为 $ \phi^I = \phi^{I}_{(0)} + c^{-2}\phi^{I}_{(1)} + c^{-4}\phi^{I}_{(2)} + \cdots $，使得 $ c^0 $ 阶场对应 LO 理论。
• 对度规使用场重新定义：$ g_{\mu\nu} = -c^2 T_\mu T_\nu + \Pi_{\mu\nu} $，其中 $ T_\mu $ 为时间类矢量，$ \Pi_{\mu\nu} $ 为空间投影，以分离非相对论性自由度。
• 采用保持牛顿-卡坦纳理论几何结构的挠率联络 $ C^\rho_{\mu\nu} $，确保协变导数的一致性。
• 通过 LO 拉格朗日量的二阶变分与重标度拉格朗日量对 $ \sigma $ 的导数，推导出 NNLO 拉格朗日量，确保每一阶的运动方程一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对爱因斯坦-希尔伯特拉格朗日量进行光速逆幂次的系统性展开，以获得一个非相对论性有效理论？
• RQ2 在 $ 1/c^2 $ 展开中，非相对论性引力拉格朗日量在下一阶下一阶（NNLO）的结构是什么？
• RQ3 引力时间膨胀等相对论性修正如何在广义相对论的非相对论极限中出现？
• RQ4 能否证明 NRG 拉格朗日量在每一阶的运动方程在非相对论极限下与原相对论性理论的运动方程一致？
• RQ5 牛顿-卡坦纳几何及其挠率联络在构建协变、非壳上（off-shell）的非相对论性有效场论中起什么作用？

主要发现

• 在 $ 1/c^2 $ 展开中，非相对论性引力拉格朗日量被推导至 NNLO 阶，完整表达式见方程（27），以牛顿-卡坦纳场表示。
• LO 项对应标准牛顿-卡坦纳作用量，其里奇标量由挠率联络构造，准确描述牛顿引力。
• NLO 项与 NNLO 项分别包含对 $ \sigma $ 的导数项与 LO 拉格朗日量的二阶变分项，正确重现了 $ c^{-2} $ 修正场的运动方程。
• 在 NNLO 拉格朗日量中出现场强 $ F_{\mu\nu} = \partial_\mu m_\nu - \partial_\nu m_\mu - a\mu m_\nu + a_\nu m_\mu $，表明在非相对论极限下出现类电磁动力学行为。
• 以米尔恩提升对称形式表示的拉格朗日量（方程 28）确认了该理论与非相对论时空对称性一致，其中 $ \hat{v}^\mu $ 与 $ \hat{\Phi} $ 分别为提升不变的速变与势能。
• 由于在 TTNC（无挠率、横截）非壳条件下 LO 拉格朗日量的二阶变分为零，导致 $ \Phi_{\mu\nu}^2 $ 项的缺失，从而简化了 NNLO 作用量的结构。