[论文解读] Non-self-adjoint operators, infinite determinants, and some applications

Fritz Gesztesy, Yuri Latushkin+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 52被引用 61

一句话总结

本文通过改进的弗雷德霍姆行列式，为非自伴算子建立了一个谱理论框架，并将乔斯特-佩斯公式推广至多维情形。它建立了全局的魏因施泰因–阿罗恩扎因公式，将 $L^2(\Omega)$ 中的比尔曼–施温格核行列式约化为 $\partial\Omega$ 上的边界积分算子，从而在散射理论和通过艾文斯函数进行的稳定性分析中实现应用。

ABSTRACT

We study various spectral theoretic aspects of non-self-adjoint operators. Specifically, we consider a class of factorable non-self-adjoint perturbations of a given unperturbed non-self-adjoint operator and provide an in-depth study of a variant of the Birman-Schwinger principle as well as local and global Weinstein-Aronszajn formulas. Our applications include a study of suitably symmetrized (modified) perturbation determinants of Schrödinger operators in dimensions n=1,2,3 and their connection with Krein's spectral shift function in two- and three-dimensional scattering theory. Moreover, we study an appropriate multi-dimensional analog of the celebrated formula by Jost and Pais that identifies Jost functions with suitable Fredholm (perturbation) determinants and hence reduces the latter to simple Wronski determinants.

研究动机与目标

• 通过广义的比尔曼–施温格原理，为给定算子的可分解非自伴扰动发展谱理论。
• 通过改进的弗雷德霍姆行列式，为非自伴算子建立局部与全局的魏因施泰因–阿罗恩扎因公式。
• 通过将乔斯特函数与边界积分行列式关联，将乔斯特–佩斯公式推广至 $n=1,2,3$ 维的薛定谔算子。
• 将该理论应用于散射理论，特别是通过改进的扰动行列式，在 $n=2,3$ 维中推导克雷因谱移函数。
• 通过迹算子和索伯列夫空间映射，阐明具有紧致边界区域的狄利克雷与诺伊曼拉普拉斯算子之间的等价性。

提出的方法

• 将可分解非自伴扰动的形式化为 $H = H_0 + B^*A$，其中 $H_0$ 为非自伴算子，$A,B$ 为定义稠密的算子。
• 为 $H$ 的谱分析推导广义的比尔曼–施温格原理，将特征值与改进的弗雷德霍姆行列式的零点联系起来。
• 通过比尔曼–施温格核引入对称化扰动行列式，以处理非自伴性。
• 利用迹算子 $\gamma_D$、$\gamma_N$ 及其共轭，将基于 $L^2(\Omega)$ 的弗雷德霍姆行列式约化为 $\partial\Omega$ 上的边界算子。
• 将该理论应用于薛定谔算子，其中 $V \in L^1((0,\infty);dx)$ 在 $n=1$ 维，$V \in L^2(\Omega;d^n x)$ 在 $n=2,3$ 维。
• 将艾文斯函数作为比尔曼–施温格型算子的弗雷德霍姆行列式，用于分析非线性偏微分方程的线性稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将比尔曼–施温格原理推广至具有可分解扰动的非自伴算子？
• RQ2 此类非自伴算子的本质谱与离散特征值的结构为何？
• RQ3 能否将乔斯特–佩斯公式（在 1D 中将乔斯特函数与弗雷德霍姆行列式等同）推广至高维？
• RQ4 比尔曼–施温格核的改进弗雷德霍姆行列式与 $n=2,3$ 散射理论中的克雷因谱移函数有何关系？
• RQ5 在具有紧致边界的区域上，狄利克雷与诺伊曼拉普拉斯算子之间的精确关系为何，其关系通过迹算子与索伯列夫空间映射如何体现？

主要发现

• 本文通过比尔曼–施温格核的改进弗雷德霍姆行列式，为非自伴算子建立了全局魏因施泰因–阿罗恩扎因公式。
• 对于 $n=1,2,3$ 维的薛定谔算子，$L^2(\Omega)$ 中比尔曼–施温格核的弗雷德霍姆行列式被约化为 $\partial\Omega$ 上的行列式，推广了乔斯特–佩斯公式。
• 非自伴薛定谔算子的艾文斯函数被识别为改进的弗雷德霍姆行列式，从而将其与散射理论中的谱移函数联系起来。
• 在较弱假设下，通过改进的扰动行列式重新推导了 $n=2,3$ 维中的克雷因谱移函数，优于以往结果。
• 本文证明了在 $C^{1,r}$ 域（$1/2 < r < 1$）上，狄利克雷与诺伊曼拉普拉斯算子一致，且其预解算子通过迹算子相关联。
• 本文证明了迹算子 $\gamma_D$ 的共轭算子平凡（$\text{dom}(\gamma_D^*) = \{0\}$），确认 $\gamma_D$ 在 $L^2(\Omega)$ 中不可闭。