[论文解读] Non-separability and complete reducibility: $E_n$ examples with an application to a question of Külshammer

Tomohiro Uchiyama|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文在特征2下构造了有限子群 $H < M < G$ 的新例子，其中 $G$ 为型 $E_n$ ($n=6,7,8$) 的单代数群，满足 $H$ 是 $G$-完全可约但不是 $M$-完全可约。通过几何不变量理论与 Magma 中的显式计算，作者为 $E_6$ 提供了11个例子，为 $E_7$ 提供1个，为 $E_8$ 提供2个，解决了关于非分离作用与完全可约性的有理性的疑问。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple algebraic group of type $E_n (n=6,7,8)$ defined over an algebraically closed field $k$ of characteristic $2$. We present examples of triples of closed reductive groups $H

研究动机与目标

• 构造三元组 $H < M < G$ 的显式例子，其中 $G$ 为型 $E_n$ ($n=6,7,8$) 的例外群，且在特征2下，$H$ 是 $G$-完全可约但不是 $M$-完全可约。
• 通过分析非分离子群的结构，解决 Külshammer 提出的关于有限群在半单群中表示的问题。
• 研究子域上 $G$-完全可约性的有理性质，特别是在非分离作用的背景下。
• 探讨 $E_n$ 群中某些子群的共轭类及其在自同态下的行为。
• 扩展对正合对的理解，并阐明在完全可约性背景下分离性的作用。

提出的方法

• 固定 $G = E_6, E_7, E_8$ 中的极大环面 $T$ 和型为 $A_5$、$A_7$ 或 $A_7$ 的 Levi 子群 $L$，并考虑相应的抛物子群 $P$ 及其无扭根子群 $R_u(P)$。
• 通过全局中心化子与无穷小中心化子在 $R_u(P)$ 中不同的条件，识别出 $W_L$ 中作用于 $R_u(P)$ 的非分离有限子群 $K'$。
• 通过从极大环面 $T$ 中添加一个合适的元素 $t$，将 $K'$ 稳定化为一个 $G$-完全可约子群 $K$，同时确保 $K$ 在 $R_u(P)$ 上仍保持非分离作用。
• 通过在 $R_u(P)$ 中选择一条一维曲线 $C$ 上的元素 $v$，构造共轭子群 $H = vKv^{-1}$，使得 $T_1(C)$（曲线在单位元处的切空间）属于 $K$ 的中心化子的李代数，但不属于 $C_{R_u(P)}(K)$ 的李代数。
• 利用几何不变量理论中的命题 2.4 验证 $H$ 虽然 $G$-完全可约，但不是 $M$-完全可约。
• 借助 Magma 进行群作用、根系与共轭类的计算验证，尤其针对 $E_6$、$E_7$ 和 $E_8$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在特征2下，为型 $E_n$ ($n=6,7,8$) 的 $G$ 构造出有限子群 $H < M < G$ 的显式例子，使得 $H$ 是 $G$-cr 但不是 $M$-cr？
• RQ2 当 $H$ 是 $G$-cr 时，非分离性在 $M$-完全可约性失效中起什么作用？
• RQ3 在子域上，$G$-完全可约性的有理性质如何表现，特别是在非分离作用的背景下？
• RQ4 是否存在非共轭的有限群在 $G$ 中的表示，使得它们是 $G$-cr 但不是 $M$-cr（$M$ 为半单子群）？
• RQ5 在作用非分离的情况下，$E_n$ 群中某些有限子群的共轭类结构是怎样的？

主要发现

• 作者为 $G = E_6$ 在特征2下构造了11个显式例子，其中有限子群 $H < M < G$ 满足 $H$ 是 $G$-完全可约但不是 $M$-完全可约。
• 为 $G = E_7$ 提供了一个新例子，为 $G = E_8$ 提供了两个例子，所有例子均满足 $H$ 是 $G$-cr 但不是 $M$-cr 的条件。
• 所构造的子群 $H$ 在 $G$ 中是非分离的，这与理论要求一致：若 $H$ 是分离的，则每当其为 $G$-cr 时，也必为 $M$-cr。
• 证明依赖于几何不变量理论中的一个关键几何准则（命题 2.4），通过中心化子条件的失败来验证非 $M$-完全可约性。
• 这些例子表明，即使 $H$ 是 $G$-cr，$G$-完全可约性的有理性质也可能在子域上失效，原因在于非分离性。
• 本文证明了表示对 $(\rho_a, \rho_b)$ 不共轭，除非 $a = b$，从而确认了 $E_n$ 群中某些有限子群的非共轭性。