[论文解读] Non-singular circulant graphs and digraphs

A. K. Lal, A. Satyanarayana Reddy|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2011

Graph theory and applications参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文利用循环矩阵、分圆多项式和单位根的性质，为广义循环图和有向图（特别是 $(r,s,t)$-有向图和 $C_n^{i,j,k,l}$ 有向图）提供了其奇异性的必要与充分条件。主要贡献在于基于 $n$、$r$、$s$、$t$、$j$、$k$ 和 $l$ 的最大公约数条件，对奇异性的精确刻画，扩展了关于循环矩阵特征值与行列式已知结果的结论。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient conditions for a few classes of known circulant graphs and/or digraphs to be singular. The above graph classes are generalized to $(r,s,t)$-digraphs for non-negative integers $r,s$ and $t$, and the digraph $C_n^{i,j,k,l}$, with certain restrictions. We also obtain a necessary and sufficient condition for the digraphs $C_n^{i,j,k,l}$ to be singular. Some necessary conditions are given under which the $(r,s,t)$-digraphs are singular.

研究动机与目标

• 建立已知循环图和有向图类奇异性的必要与充分条件。
• 将现有循环图族推广为具有明确结构约束的 $(r,s,t)$-有向图和 $C_n^{i,j,k,l}$ 有向图。
• 利用代数数论与矩阵理论，对 $C_n^{i,j,k,l}$ 有向图的奇异性进行精确刻画。
• 提供 $(r,s,t)$-有向图奇异性的必要条件，超越以往部分结果。
• 通过代表多项式与单位根，统一并扩展先前关于循环矩阵行列式与特征值的研究成果。

提出的方法

• 利用循环矩阵的代表多项式 $\gamma_A(x)$ 表示广义循环图的邻接矩阵。
• 应用引理 1.4，将矩阵奇异性的判定与 $\gcd(\gamma_A(x), x^n - 1)$ 的次数关联，其值至少为 1 时矩阵奇异。
• 运用分圆多项式 $\Phi_d(x)$ 及本原单位根 $\zeta_n$ 的性质，分析特征值与零度。
• 推导出 $C_n^{i,j,k,l}$ 的代表多项式为 $x^i \cdot \frac{x^{\ell+1}-1}{x-1} \cdot \frac{x^{(k+1)j}-1}{x^j-1}$，从而实现代数分析。
• 利用代数数论方法，检验是否存在 $d \geq 2$ 使得 $\gamma_A(\zeta_n^{n/d}) = 0$，若成立则表示存在零特征值，即矩阵奇异。
• 应用恒等式 $(x-1)\gamma_A(x) = (x^r - 1) + x^{r+t}(x^s - 1)$ 分析根的性质，并推导出 $(r,s,t)$-有向图的奇异条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，广义 $(r,s,t)$-有向图是奇异的？
• RQ2 在给定 $i,j,k,l,n$ 的约束下，循环有向图 $C_n^{i,j,k,l}$ 何时奇异？
• RQ3 如何通过 $n$、$r$、$s$、$t$、$j$、$k$ 和 $\ell$ 的最大公约数条件来确定这些有向图的奇异性？
• RQ4 能否通过分圆多项式整除性完全刻画 $C_n^{i,j,k,l}$ 的奇异性？
• RQ5 在更广泛的 $(r,s,t)$-有向图类中，确保奇异性的必要条件是什么？

主要发现

• 当且仅当 $\gcd(\ell+1, n) \geq 2$ 或 $\gcd(k+1, \frac{n}{\gcd(n,j)}) \geq 2$ 时，有向图 $C_n^{i,j,k,l}$ 奇异。
• 对于第一行为 $[r$ 次 $a$，$s$ 次 $b$，$t$ 次 $c]$ 的 $(r,s,t)$-有向图，若 $\gcd(s,n) > 1$，则其矩阵奇异。
• 若 $\gcd(n,r,s) > 1$，则 $(r,s,t)$-有向图奇异，因为 $\zeta_n^{n/k}$ 是代表多项式的根。
• 当 $\gcd(n,s) = 1$ 且 $d \geq 2$ 整除 $t$，且 $s = \ell r$ 且 $\ell \equiv -1 \pmod{d}$ 时，有向图奇异，因为 $\gamma_A(\zeta_n^{n/d}) = 0$。
• 当 $n = 2m$，$\gcd(n,s) = 1$，$d$ 为偶数，且 $r+t$ 是 $d/2$ 的奇数倍，且 $s = \ell r$ 且 $\ell \equiv 1 \pmod{d}$ 时，有 $\gamma_A(\zeta_n^{n/d}) = 0$，表明矩阵奇异。
• 完全图 $K_n$ 对于 $n \geq 2$ 是非奇异的，由推论 1.5 可知，当 $a=1$，$b=0$，$s=n-1$，$t=1$，且 $\gcd(s,n)=1$ 时成立。