[论文解读] Non-Solvable Graph of a Finite Group and Solvabilizers

Doron Hai-Reuven|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文引入了有限群的不可解图（non-solvable graph）以及‘可解化子’（solvabilizers）的概念——即与给定元素共同生成可解子群的元素集合。本文证明：一个群是可解的，当且仅当每个元素的可解化子都是子群（即S-群）；并证明了在模其可解根的商群上诱导出的不可解图是不规则的，从而通过图论性质为可解性提供了新的刻画。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group. For $x \in G$, we define the solvabilizer of $x$ in $G$, denoted $sol_G(x)$, to be the set $\{g \in G \mid \langle g,x angle$ is solvable$\}$. A group $G$ is an S-group if $sol_G(x)$ is a subgroup of $G$ for every $x \in G$. In this paper we prove that $G$ is solvable $\Leftrightarrow$ $G$ is an S-group. Secondly, we define the non-solvable graph of $G$ (denoted ${\mathcal S}_{G}$). Its vertices are $G$ and there is an edge between $x,y \in G$ whenever $\langle x,y angle$ is not solvable. If $S(G)$ is the solvable radical of $G$ and $G$ is not solvable, we look at the induced graph over $G \setminus S(G)$, denoted $\hat{{\mathcal S}_{G}}$. We prove that if $G$ is not solvable, then $\hat{{\mathcal S}_{G}}$ is irregular. In addition, we prove some properties of solvabilizers and non-solvable graphs.

研究动机与目标

• 定义并研究有限群的不可解图，其中边连接那些生成不可解子群的元素对。
• 引入元素的可解化子，即与该元素共同生成可解子群的元素集合。
• 通过可解化子的子群性质刻画可解性，引入S-群的概念。
• 分析不可解图的结构性质，特别是其在G\S(G)上的诱导子图，并证明其不规则性。
• 与现有的图（如非交换图和非幂零图）进行类比，并将这些图中的结果推广至本框架。

提出的方法

• 将群G中元素x的可解化子定义为集合{g ∈ G | ⟨g,x⟩是可解的}。
• 将S-群定义为所有元素的可解化子均为子群的群。
• 利用汤普森关于可解性的定理，证明G是可解的当且仅当G是S-群。
• 定义不可解图SG，其顶点集为G，当且仅当一对元素生成不可解子群时存在边连接。
• 分析G\S(G)上的诱导子图ŜG，其中S(G)是G的可解根。
• 通过归纳法和群阶整除性论证，证明ŜG是不规则的，即其顶点不可能仅有两种不同的度数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限群中，元素的可解化子在什么情况下是子群？
• RQ2 从可解化子的子群性质中，可以导出哪些关于可解性的刻画？
• RQ3 有限群的不可解图具有哪些结构性质，特别是其在可解根补集上的性质？
• RQ4 不可解图能否通过图论不变量来区分可解群与不可解群？
• RQ5 在G\S(G)上诱导出的不可解图的不规则性与群的不可解性有何关联？

主要发现

• 有限群G是可解的，当且仅当它是S-群，即每个元素的可解化子都是子群。
• 任意元素x在G中的可解化子包含x的中心化子，且其大小整除群的阶。
• 在G\S(G)上诱导出的不可解图ŜG是不规则的，即并非所有顶点具有相同的度数。
• 若G是非可解的，则ŜG包含一个完全二部图子图K4,4，因此其为非平面图。
• 不可解图中不同顶点度数的个数不可能恰好为两个。
• 不可解图中所有顶点度数之和可被|G|整除，这是由于可解化子大小整除性的直接推论。