[论文解读] Non-trivial unary languages recognized by two-way one-counter machines.

Marzio De Biasi, Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

semigroups and automata theory参考文献 37被引用 2

一句话总结

本文提出了一种针对双向一计数器自动机（2CAs）的新编程技术，使其能够通过将被模拟机器的工作内存和输入编码为一元编码整数中的指数，来模拟多计数器自动机和空间有界的图灵机（在一元输入上）。关键贡献在于，该技术使确定性、非确定性、交替型及概率型2CAs能够识别出超越指数长度字符串的新型非平凡一元语言，包括原本需要二进制编码的语言，而这些二进制编码可通过常数规模的量子内存被替换。

ABSTRACT

Finite automaton with one counter (CA) is a fundamental model in automata theory. It has been widely examined from different point of views since sixties. One recent significant result, for example, is that the equivalence problem of deterministic one-way CAs is NLcomplete [Stanislav Bohm, Stefan Goller, Petr Jancar. STOC 2013: 131140]. In the case of unary languages, on the other hand, we know little about the computational power of CAs. Since one-way nondeterministic pushdown automata, a generalization of one-way nondeterministic CAs, cannot recognize any nonregular unary language, it is interesting to focus on one-way alternating CAs (1ACAs) and two-way CAs (2CAs). Up to our knowledge, the only known unary non-regular languages recognized by 1ACAs and 2CAs are formed by the strings with exponential lengths. In this paper, we present a new programming technique for 2CAs on unary languages that allows to simulate multi-counter automata and space bounded Turing machines operating on unary or general alphabets. The idea is that a 2CA can take the input and the working memory of the simulated machine as the exponent of some integers encoded on unary inputs. Thus, once the 2CA becomes sure about the correctness of the encoding, it can start a two-counter simulation of the given machine. Here the second counter is simulated by the input head of the 2CA on the unary input. Based on this idea, we will present several new non-trivial unary languages recognized by deterministic, nondeterministic, alternating, and probabilistic 2CAs. In some cases, we use encodings on binary alphabet as well, in which we show that using a constant-size quantum memory can help to replace the encoding on binary alphabets with unary alphabets. keywords: automata theory, counter machines, unary languages, nondeterminism, alternation, randomization, quantum automata

研究动机与目标

• 探索双向一计数器自动机（2CAs）在一元语言上的计算能力，目前对此类语言的了解仍局限于指数长度字符串的识别。
• 克服单向非确定性CA无法识别非正则一元语言的局限性。
• 开发一种新型模拟技术，使2CAs能够在一元或通用字母表上模拟多计数器自动机和空间有界的图灵机。
• 证明各种2CA模型（包括概率型和交替型）能够识别出超越指数长度字符串的非平凡一元语言。
• 研究二进制编码的作用，以及常数规模量子内存在将二进制编码替换为一元编码方面的潜在优势。

提出的方法

• 2CA将输入和被模拟机器的工作内存编码为一元编码整数中的指数，并利用计数器存储和操作这些值。
• 在编码被验证正确后，2CA启动对目标机器的双计数器模拟，其中输入头在一元磁带上模拟第二个计数器。
• 该技术可同时模拟多计数器自动机和在一元或通用字母表上运行的空间有界图灵机。
• 该方法支持确定性、非确定性、交替型及概率型2CAs，使它们能够识别出新的非正则一元语言。
• 部分构造中使用了二进制编码，且证明当存在常数规模量子内存时，可将此类二进制编码替换为一元编码。
• 通过在一元输入磁带上对状态控制和读头移动模式的仔细设计，验证了编码的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 双向一计数器自动机能否识别出超越指数长度字符串的非平凡一元语言？
• RQ2 2CAs如何通过一种新型编码方案，在一元输入上模拟多计数器自动机和空间有界的图灵机？
• RQ3 在构建2CAs识别的复杂一元语言时，二进制编码起到什么作用？能否被一元编码替代？
• RQ4 常数规模量子内存是否能减少2CAs在一元语言识别中对二进制编码的需求？
• RQ5 不同2CA变体（确定性、非确定性、交替型、概率型）在一元语言上的计算能力如何？

主要发现

• 本文展示了由确定性、非确定性、交替型及概率型双向一计数器自动机识别出的新非平凡一元语言。
• 这些语言超越了由指数长度字符串构成的语言，显著扩展了2CAs在一元输入上的表达能力。
• 所提出的编码技术使2CAs能够通过将状态和内存表示为一元编码整数中的指数，来模拟多计数器自动机和空间有界图灵机。
• 在某些构造中使用的二进制编码，当存在常数规模量子内存时，可被一元编码替代。
• 该技术使2CAs能够识别原本需要更复杂自动机或更大内存模型的语言。
• 结果表明，2CAs在一元输入上的计算能力远超以往认知，尤其在结合编码与模拟策略时表现显著。