[论文解读] Non-uniform Stability of Damped Contraction Semigroups

Ralph Chill, Lassi Paunonen+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 62被引用 9

一句话总结

本文建立了新的可观测性类型条件，确保由形式为 $A - BB^*$ 的算子生成的半群具有非一致稳定性，其中 $A$ 生成一个压缩半群，而 $B$ 可能是有界的。通过基于这些条件推导出的预解估计，作者获得了在一维和二维情况下阻尼波动方程、Klein–Gordon 方程和梁方程解的精确多项式衰减速率。

ABSTRACT

We investigate the stability properties of strongly continuous semigroups generated by operators of the form $A-BB^\ast$, where $A$ is a generator of a contraction semigroup and $B$ is a possibly unbounded operator. Such systems arise naturally in the study of hyperbolic partial differential equations with damping on the boundary or inside the spatial domain. As our main results we present general sufficient conditions for non-uniform stability of the semigroup generated by $A-BB^\ast$ in terms of selected observability-type conditions of the pair $(B^\ast,A)$. We apply the abstract results to obtain rates of energy decay in one-dimensional and two-dimensional wave equations, a damped fractional Klein--Gordon equation and a weakly damped beam equation.

研究动机与目标

• 表征由 $A - BB^*$ 生成的半群的非一致稳定性，其中 $A$ 生成一个压缩半群，而 $B$ 可能是有界的。
• 弥合对偶 $(B^*, A)$ 的可观测性性质与阻尼演化方程解的衰减速率之间的差距。
• 将经典关于指数稳定性和强稳定性的结果推广到多项式（非一致）稳定性的设定中。
• 提供一般且可验证的条件——如量化近似可观测性和波包条件——以获得精确的衰减估计。
• 将抽象框架应用于具体 PDE，包括阻尼波动方程、Klein–Gordon 方程和梁方程，并给出显式的衰减速率。

提出的方法

• 基于对 $(B^*, A)$ 的可观测性类型条件，推导生成元 $A - BB^*$ 的预解估计，特别利用满足 $\|B^*(1+is-A)^{-1}B\| \leq \mu(s)$ 的函数 $\mu(s)$。
• 引入非一致 Hautus 检验，要求对所有 $x \in D(A)$ 和 $s \in \mathbb{R}$，有 $\|x\|^2 \leq M(s)\| (is - A)x \|^2 + m(s)\|B^*x\|^2$，其中 $M, m$ 是可测且下有界的函数。
• 采用波包条件：对所有属于谱子空间 $\text{WP}_{s,\delta(s)}(A)$ 的 $x$，有 $\|B^*x\|_U \geq \gamma(s)\|x\|_X$，其中 $\gamma, \delta$ 为正且有界的函数。
• 利用谱函数 $J_\alpha$ 的逆来确定波包的合适宽度 $\delta(s)$，从而控制预解的增长。
• 通过识别底层算子（如拉普拉斯算子、双拉普拉斯算子）的 $A$、$B$ 和谱结构，将抽象的预解估计应用于具体的 PDE。
• 通过关系 $\|(is - A_B)^{-1}\| \lesssim (1 + |s|)^{\kappa}$ 建立衰减速率，从而导出解的多项式衰减 $\|x(t)\| \lesssim N^{-1}(t)$，其中函数 $N$ 具有正增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，由 $A - BB^*$ 生成的半群 $T_B(t)$ 对于对偶 $(B^*, A)$ 是非一致稳定的？
• RQ2 可观测性类型条件应如何加强，才能为阻尼 PDE 解的精确多项式衰减速率提供保证？
• RQ3 谱结构——特别是波包局域化和特征值分布——在决定衰减速率中起什么作用？
• RQ4 波包条件能否有效应用于特征值非均匀分布的系统，如梁方程？
• RQ5 所推导的衰减速率在多大程度上是最优的？它们如何依赖于阻尼系数的傅里叶系数？

主要发现

• 非一致 Hautus 检验，涉及函数 $M(s)$ 和 $m(s)$，可确保 $\|(is - A_B)^{-1}\| \lesssim (1 + |s|)^{\kappa}$，从而导致解的多项式衰减。
• 在一维和二维阻尼波动方程中，波包条件在适当的阻尼条件下分别给出 $t^{-1}$ 和 $t^{-1/2}$ 的衰减速率。
• 对于阻尼分数阶 Klein–Gordon 方程，当阻尼系数满足 $|D^*\phi_n| \gtrsim f(n^2)$ 且 $f^{-1}$ 具有正增长时，衰减速率为 $t^{-1/2}$。
• 对于弱阻尼梁方程，当 $|D^*\phi_n| \gtrsim f(n^2)$ 且 $f^{-1}$ 具有正增长时，衰减速率为 $t^{-1}$；对于特定阻尼分布如 $b(\xi) = \xi^2(1-\xi)$，衰减速率为 $t^{-1/3}$。
• 当 $|D^*\phi_n| \lesssim f(n)$ 对某个子序列 $n_k$ 成立时，根据定理 5.5，梁方程的衰减速率 $t^{-1}$ 是最优的。
• 对于分数阶 Klein–Gordon 方程，推导出预解估计 $\|(is - A_B)^{-1}\| \lesssim (1 + |s|)^{2(\alpha^{-1} - 1)^{-1}}$，当 $\alpha = 1/2$ 时，可得到衰减速率 $t^{-1/2}$。