[论文解读] Non uniformly hyperbolic dynamics: Hénon maps and related dynamical systems

Michael Benedicks|ArXiv.org|Apr 28, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文通过细化一维映射的分析，确立了Hénon映射中非一致双曲动力系统的存在性，将混沌系统的遍历理论拓展至Axiom A之外。通过证明绝对连续不变测度的存在性及随机稳定性，表明具有正李雅普诺夫指数的混沌行为在参数空间中正测度集合内普遍存在，显著推进了对耗散二维系统中奇异吸引子的理解。

ABSTRACT

In the 1960s and 1970s a large part of the theory of dynamical systems concerned the case of uniformly hyperbolic or Axiom A dynamical system and abstract ergodic theory of smooth dynamical systems. However since around 1980 an emphasize has been on concrete examples of one-dimensional dynamical systems with abundance of chaotic behavior (Collet &Eckmann and Jakobson). New proofs of Jakobson's one-dimensional results were given by Benedicks and Carleson \cite{BC85} and were considerably extended to apply to the case of Hénon maps by the same authors \cite{BC91}. Since then there has been a considerable development of these techniques and the methods have been extended to the ergodic theory and also to other dynamical systems (work by Viana, Young, Benedicks and many others). In the cases when it applies one can now say that this theory is now almost as complete as the Axiom A theory.

研究动机与目标

• 将一致双曲动力系统理论拓展至非一致双曲系统，特别是Hénon映射。
• 在典型参数条件下，建立Hénon映射绝对连续不变概率测度（ACIP）的存在性。
• 研究这些不变测度在小随机扰动下的随机稳定性。
• 解决关于奇异吸引子与周期性汇在参数空间中普遍性的开放问题。
• 为Axiom A框架之外耗散二维系统中的混沌动力学提供严格理论基础。

提出的方法

• 将Benedicks与Carleson在一维单峰映射中使用的技术拓展至二维Hénon映射。
• 采用参数排除法，识别出使Hénon映射表现出非一致双曲性的正勒贝格测度参数集合。
• 通过构造Young塔与相关性衰减，证明唯一SRB测度（即绝对连续不变测度）的存在性。
• 通过证明扰动平稳测度在噪声强度趋于零时收敛至确定性ACIP，证明不变测度的弱-*随机稳定性。
• 将非一致双曲系统理论应用于Hénon型映射及具有非一致双曲基动力系统的斜积。
• 利用具有分层结构且几何受控的临界集，以控制参数排除过程中的返回时间与畸变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Hénon映射参数空间中，对勒贝格几乎处处的参数(a,b)，是否存在至多有限个共存的奇异吸引子与稳定周期轨道？
• RQ2 对于存在有限个共存吸引子或汇的参数，其吸引盆是否覆盖相空间中勒贝格几乎处处的点？
• RQ3 使得Hénon映射为双曲的参数集合在完整参数空间中是否稠密？
• RQ4 Hénon映射是否在正测度参数集合中表现出正李雅普诺夫指数，且该行为是否具有随机稳定性？
• RQ5 用于Hénon映射的方法能否推广至具有非一致双曲基动力系统的斜积，如Misiurewicz映射或具有非一致双曲性的二次映射？

主要发现

• 对于参数(a,b)的正勒贝格测度集合，Hénon映射表现出非一致双曲性，并存在唯一的绝对连续不变概率测度（ACIP）。
• ACIP为SRB测度且为物理测度，即在吸引盆中几乎所有初始点的Birkhoff平均收敛至该测度。
• 不变测度具有随机稳定性：在小随机扰动下，平稳测度在噪声消失时弱-*收敛至确定性ACIP。
• 扰动平稳测度的密度在L¹范数下收敛至ACIP密度，此结果由Baladi与Viana所示。
• Hénon映射的临界集具有分层结构，其豪斯多夫维数猜想有界于O(1/log(1/b))。
• 结果支持如下猜想：对于Hénon映射，Newhouse现象（无穷多个汇）仅在参数空间中勒贝格测度为零的集合上发生。