[论文解读] Non-unique ergodicity for deterministic and stochastic 3D Navier--Stokes and Euler equations

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2022

Navier-Stokes equation solutions被引用 6

一句话总结

本文通过一种新颖的随机凸积分方法，证明了确定性和随机性三维Navier--Stokes方程与Euler方程存在无穷多组平稳且遍历的解。这些解属于正则性类 $C({\mathbb{R}};H^{\vartheta})\cap C^{\vartheta}({\mathbb{R}};L^{2})$（其中 $\vartheta>0$），该方法提供了统一的矩界，从而支持了非唯一遍历性、粘性系数趋于零的极限行为以及异常耗散等结果。

ABSTRACT

We establish the existence of infinitely many stationary solutions, as well as ergodic stationary solutions, to the three dimensional Navier--Stokes and Euler equations in both deterministic and stochastic settings, driven by additive noise. These solutions belong to the regularity class $C(\mathbb{R};H^{\vartheta})\cap C^{\vartheta}(\mathbb{R};L^{2})$ for some $\vartheta>0$ and satisfy the equations in an analytically weak sense. The solutions to the Euler equations are obtained as vanishing viscosity limits of stationary solutions to the Navier--Stokes equations. Furthermore, regardless of their construction, every stationary solution to the Euler equations within this regularity class, which satisfies a suitable moment bound, is a limit in law of stationary analytically weak solutions to Navier--Stokes equations with vanishing viscosities. Our results are based on a novel stochastic version of the convex integration method, which provides uniform moment bounds locally in the aforementioned function spaces.

研究动机与目标

• 建立三维随机与确定性Navier--Stokes方程及Euler方程存在无穷多组平稳且遍历解的理论。
• 在解的非唯一性背景下，分析粘性系数趋于零的极限行为与异常耗散现象。
• 发展一种随机凸积分框架，使其在临界函数空间中提供统一的矩界。
• 证明非唯一性并非病态现象，而是普遍特征，从而支持湍流中物理遍历假设。
• 利用不变测度与平稳分布，表征高雷诺数区域下解的统计行为。

提出的方法

• 为带有加性噪声的随机偏微分方程（SPDEs）引入一种专用于随机凸积分方法的变体。
• 通过迭代构造近似解 $v_{q+1}$ 与雷诺应力 $\mathring{R}_{q+1}$，确保在 $C({\mathbb{R}};H^{\vartheta})\cap C^{\vartheta}({\mathbb{R}};L^{2})$ 中具有统一的矩界。
• 利用光滑化与间歇喷流构造方法，控制迭代方案中的正则性与能量水平。
• 采用随机参数与随机扰动，确保不变测度与遍历平稳解的存在性。
• 通过插值与范数估计控制 $\rho$、$a_{(\xi)}$ 与 $\gamma_\xi$ 的正则性，从而控制最终解与应力张量的性质。
• 利用递推估计与插值方法，建立 $\|a_{(\xi)}\|_{C^N_{t,x}}$ 与 $\|\rho^{1/2}\|_{C^m_{t,x}}$ 的界，确保在所需函数空间中的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维随机Navier--Stokes与Euler方程是否可能存在无穷多组平稳解？
• RQ2 在随机设定下，解的非唯一性是否依然存在？能否将其与平稳不变测度建立联系？
• RQ3 在新构造方法下，当粘性系数 $\nu \to 0$ 时，解的行为如何？
• RQ4 在非唯一解的背景下，是否能严格观测到异常耗散现象？
• RQ5 随机凸积分方法是否具备在临界正则性空间中生成统一矩界的潜力？

主要发现

• 本文证明了在正则性类 $C({\mathbb{R}};H^{\vartheta})\cap C^{\vartheta}({\mathbb{R}};L^{2})$（其中 $\vartheta>0$）中存在无穷多组平稳解。
• 本文建立了随机与确定性三维Navier--Stokes与Euler方程存在遍历平稳解的理论。
• 随机凸积分方法在临界函数空间中提供了统一的矩界，从而保障了解的收敛性与正则性控制。
• 对粘性系数趋于零的极限行为进行了分析，结果表明Navier--Stokes方程的解不会唯一收敛至Euler方程的解。
• 在高雷诺数区域中，异常耗散被确认为可能的结果，与物理湍流理论一致。
• 推导出界 $\|a_{(\xi)}\|_{C^N_{t,x}} \lesssim \ell^{-7-6N}(\|\mathring{R}_{q}\|_{C_{[t-1,t+1]}L^{1}}+1)^{N+1}$，确保最终解所需的正则性与可积性。