[论文解读] Non-uniqueness in law of stochastic 3D Navier--Stokes equations

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用 13

一句话总结

本文通过随机凸积分方法，在加法噪声、线性乘性噪声和非线性柱形噪声下，建立了随机3D Navier--Stokes方程解的律非唯一性。该方法构造了概率强解与分析弱解，这些解以正概率违反能量不等式。所构造的解的律与通过Galerkin逼近得到的解不同，从而在任意时间区间 $[0,T]$，$T>0$ 上证明了解的律非唯一性。该结果将Buckmaster与Vicol在确定性情形下的非唯一性框架拓展至随机设置，凸显了随机流体动力学中固有的概率模糊性。

ABSTRACT

We consider the stochastic Navier--Stokes equations in three dimensions and prove that the law of analytically weak solutions is not unique. In particular, we focus on three examples of a stochastic perturbation: an additive, a linear multiplicative and a nonlinear noise of cylindrical type, all driven by a Wiener process. In these settings, we develop a stochastic counterpart of the convex integration method introduced recently by Buckmaster and Vicol. This permits to construct probabilistically strong and analytically weak solutions defined up to a suitable stopping time. In addition, these solutions fail the corresponding energy inequality at a prescribed time with a prescribed probability. Then we introduce a general probabilistic construction used to extend the convex integration solutions beyond the stopping time and in particular to the whole time interval $[0,\infty)$. Finally, we show that their law is distinct from the law of solutions obtained by Galerkin approximation. In particular, non-uniqueness in law holds on an arbitrary time interval $[0,T]$, $T>0$.

研究动机与目标

• 建立随机3D Navier--Stokes方程在不同噪声类型下的律非唯一性。
• 将凸积分方法拓展至随机设置，以构造概率强解与分析弱解。
• 证明此类解可在指定时刻以指定正概率违反能量不等式。
• 开发一种通用的随机扩展方法，以将解从停止时间扩展至整个时间区间 $[0,\infty)$。
• 证明此类解的律与Galerkin逼近所得解的律不同，从而在任意时间区间 $[0,T]$ 上证明律非唯一性。

提出的方法

• 利用粗糙路径理论与随机PDE技术，将Buckmaster与Vicol的凸积分方法适配至随机设置。
• 通过迭代凸积分方案，构造至停止时间为止的概率强解与分析弱解。
• 基于雷诺应力与能量偏差的爆破定义停止时间，确保解在该时间前保持正则性。
• 引入一种通用的随机构造方法，将解从停止时间扩展至整个时间区间 $[0,\infty)$。
• 使用维纳过程的粗糙路径提升，并求解相关粗糙PDE，以处理伊藤与粗糙路径意义下的随机强迫项。
• 证明由随机系统导出的粗糙PDE解的唯一性，确保伊藤与粗糙路径表述之间的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机3D Navier--Stokes方程在加法噪声下是否成立律非唯一性？
• RQ2 能否在线性乘性噪声与非线性柱形噪声下建立律非唯一性？
• RQ3 通过随机凸积分构造的解是否以正概率违反能量不等式？
• RQ4 能否通过随机扩展方法将此类解全局延拓至整个时间区间？
• RQ5 此类解的律是否与Galerkin逼近所得解的律不同？

主要发现

• 在加法噪声、线性乘性噪声与非线性柱形噪声下，随机3D Navier--Stokes方程的律非唯一性成立。
• 通过随机凸积分方法构造的解为概率强解与分析弱解，且在指定时刻以指定正概率违反能量不等式。
• 可通过通用的随机扩展框架将此类解全局延拓至时间区间 $[0,\infty)$。
• 此类解的律与Galerkin逼近所得解的律不同，从而在任意时间区间 $[0,T]$（$T>0$）上证明了律非唯一性。
• 由随机系统导出的粗糙PDE解唯一，且几乎必然与伊藤解一致，确保了随机表述的一致性。
• 解的范数受初始数据与噪声强度控制，其界依赖于粗糙路径正则性及噪声的 $\rho_{\alpha}(B)$-范数。