[论文解读] Non-uniqueness of closed embedded non-smooth hypersurfaces with constant anisotropic mean curvature

Yoshiki Jikumaru, Miyuki Koiso|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过构造显式的 C² 非凸各向异性函数 γ，证明了在 ℝⁿ⁺¹ 中，即使在 ℝ³ 中的亏格为零的曲面情况下，具有常各向异性平均曲率（CAMC）的闭嵌入超曲面也并非唯一。与各向同性情形下 Wulff 形状是唯一极小化子不同，作者表明非凸 γ 可产生不与 Wulff 形状位似（homothetic）的 CAMC 超曲面，并进一步构造了各向异性平均曲率流的非平凡自相似收缩解。

ABSTRACT

An anisotropic surface energy is the integral of an energy density that depends on the normal at each point over the considered surface, and it is a generalization of surface area. The minimizer of such an energy among all closed surfaces enclosing the same volume is unique and it is (up to rescaling) so-called the Wulff shape. We prove that, unlike the isotropic case, there exists an anisotropic energy density function such that there exist closed embedded equilibrium surfaces with genus zero in the three-dimensional Euclidean space each of which is not (any homothety and translation of) the Wulff shape. We also give nontrivial self-similar shrinking solutions of anisotropic mean curvature flow. These results are generalized to hypersurfaces in the (n+1)-dimensional Euclidean space.

研究动机与目标

• 研究 ℝⁿ⁺¹ 中闭嵌入 CAMC 超曲面是否必须与 Wulff 形状位似，特别是在拓扑或稳定性约束下。
• 挑战一种预期：即当 Wulff 形状不光滑或非凸时，CAMC 超曲面在位似与平移下是否仍唯一。
• 构造显式例子，展示非凸各向异性函数 γ 的存在，使得存在不与 Wulff 形状位似的闭嵌入 CAMC 超曲面。
• 通过构造非平凡自相似收缩解，将结果推广至各向异性平均曲率流。

提出的方法

• 使用球面调和函数与旋转对称性，构造一个 C² 且非凸的各向异性函数 γ:Sⁿ→ℝ>₀。
• 定义 Cahn-Hoffman 映射 ξγ(ν) = Dγ|ν + γ(ν)ν，以该映射下 γ 的像来表征 Wulff 形状。
• 利用 Cahn-Hoffman 场定义一个分段 C² 的弱浸入 X:M→ℝⁿ⁺¹，其各向异性平均曲率为常数。
• 证明对于 γ，Cahn-Hoffman 映射的像中包含闭嵌入曲面，其具有常各向异性平均曲率，且不与 Wulff 形状位似。
• 通过公式 Λ = (1/n)(−divₘDγ + nHγ) 直接计算，验证这些曲面上的各向异性平均曲率 Λ 为常数。
• 将相同构造应用于各向异性平均曲率流，证明某些曲面在流 ∂Xₜ/∂t = Λₜξₜ 下自相似演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非凸各向异性函数 γ，是否存在 ℝⁿ⁺¹ 中不与 Wulff 形状位似的闭嵌入 CAMC 超曲面？
• RQ2 当 γ 非凸时，即使在 ℝ³ 中的亏格为零曲面情况下，CAMC 超曲面在位似与平移下的唯一性是否仍成立？
• RQ3 非凸各向异性函数是否会产生各向异性平均曲率流的非平凡自相似收缩解？
• RQ4 Cahn-Hoffman 映射是否可用于构造显式非 Wulff CAMC 曲面的例子？
• RQ5 γ 的何种条件可保证所有 CAMC 超曲面均与 Wulff 形状位似？该条件在何处失效？

主要发现

• 本文构造了一个 C∞ 函数 γ:S¹→ℝ>₀，其非凸，且产生一个在 ℝ² 中不与 Wulff 形状 Wγ 位似的闭嵌入 CAMC 曲线。
• 当 n=2 时，构造了一个 C∞ 非凸 γ:S²→ℝ>₀，使得在 ℝ³ 中存在亏格为零的闭嵌入 CAMC 曲面，且不与 Wγ 位似。
• 所构造的曲面是 Cahn-Hoffman 映射 ξγ 的像的子集，其各向异性平均曲率为常数且等于 -1。
• 所构造的 γ₂ 对应的 Wulff 形状 Wγ₂ 不是光滑曲面，且与嵌入的 CAMC 曲面不同，后者为分段 C∞ 且不与 Wγ₂ 位似。
• 本文给出了 S² 上 γ₂ 的显式公式及其 Cahn-Hoffman 映射 ξγ₂，表明其像中包含多个不同的 CAMC 曲面。
• 构造了各向异性平均曲率流的非平凡自相似收缩解，满足 ∂Xₜ/∂t = Λₜξₜ 且 Λₜ = -1/√(2(c−t))，展示了在流的背景下非唯一性。