[论文解读] Non-uniqueness of Leray solutions of the forced Navier-Stokes equations

Dallas Albritton, Elia Brué+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2021

Navier-Stokes equation solutions被引用 13

一句话总结

本文通过在相同体力量作用下构造两个不同的全局解，证明了三维强迫纳维-斯托克斯方程在零初值条件下勒伊-霍夫解的非唯一性。该方法依赖于相似变量下的非线性不稳定性分析，采用维什克不稳定二维涡旋所导出的紧支集涡旋环形轮廓。其中一个解位于背景解的不稳定流形上，证明经典勒伊框架在临界正则性阈值下无法保证唯一性。

ABSTRACT

In the seminal work [39], Leray demonstrated the existence of global weak solutions to the Navier-Stokes equations in three dimensions. We exhibit two distinct Leray solutions with zero initial velocity and identical body force. Our approach is to construct a `background' solution which is unstable for the Navier-Stokes dynamics in similarity variables; its similarity profile is a smooth, compactly supported vortex ring whose cross-section is a modification of the unstable two-dimensional vortex constructed by Vishik in [43,44]. The second solution is a trajectory on the unstable manifold associated to the background solution, in accordance with the predictions of Jia and Šverák in [32,33]. Our solutions live precisely on the borderline of the known well-posedness theory.

研究动机与目标

• 解决关于三维纳维-斯托克斯方程勒伊-霍夫解在相同初值与力作用下是否唯一的长期悬而未决问题。
• 证明即使在零初速度和有限能量的合适弱解类中，非唯一性仍可能发生。
• 通过利用相似变量中的非线性不稳定性，显式构造出不同勒伊-霍夫解的例子。
• 通过在不稳定流形上严格构造解，验证贾与什韦拉克程序关于非唯一性的预测。

提出的方法

• 利用从维什克不稳定二维涡旋导出的光滑紧支集涡旋环形轮廓，在相似变量中构造背景解。
• 在轴对称设置下分析背景解的线性不稳定性，识别出具有指数增长率 $ a > 0 $ 的增长模态。
• 在相似变量中使用修正的杜哈梅尔原理，构造满足非线性方程的扰动 $ U^\text{per} $，其具有指数衰减 $ O(e^{2\tau a}) $，确保解保持在临界正则性空间中。
• 建立解 $ u = \tilde{u} + u^{\text{lin}} + u^{\text{per}} $ 的存在性，其中 $ \tilde{u} $ 为背景解的截断，且截断方式适配自相似标度。
• 通过验证所有必要的正则性与可积性条件，证明所构造的解满足能量不等式，且为合适的勒伊-霍夫解。
• 利用索博列夫空间中的精细衰减估计与归纳法，将解提升为 $ t > 0 $ 时的光滑解，从而确认其正则性及与背景解的差异性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在零初值与固定体力量作用下，严格构造三维纳维-斯托克斯方程勒伊-霍夫解的非唯一性？
• RQ2 在相似变量形式中，不稳定模态的存在是否会导致临界正则性区域中出现多个不同的解？
• RQ3 能否利用自相似解的不稳定流形来生成一个与背景解不同的第二解？
• RQ4 能否在保持勒伊-霍夫解所需的能量不等式与合适性条件的同时构造此类解？
• RQ5 非唯一性结果是否存在于已知适定性理论的边界上，特别是在基于 $ L^2 $ 的临界正则性框架中？

主要发现

• 作者构造了两个不同的合适勒伊-霍夫解 $ u $ 和 $ \bar{u} $，其对应的三维纳维-斯托克斯方程具有相同的体力量 $ f \in L^1_t L^2_x $ 与零初值。
• 解在所有 $ t > 0 $ 时均为光滑解，其中第二个解位于相似变量中自相似背景解的不稳定流形上。
• 该构造依赖于由维什克不稳定二维涡旋导出的涡旋环形轮廓所驱动的非线性不稳定性机制，其在线性化动力学中表现出指数增长。
• 证明扰动 $ u^{\text{per}} $ 在加权索博列夫空间 $ X $ 中存在，且具有指数衰减 $ O(e^{2\tau a}) $，其中 $ \tau $ 为相似时间，$ a > 0 $ 为不稳定性速率。
• 解满足能量不等式且为合适解，确认其尽管存在非唯一性，仍属于经典勒伊-霍夫框架。
• 该结果表明，勒伊-霍夫解的已知适定性理论是精确的，因为非唯一性恰好出现在临界正则性阈值处。