[论文解读] Non-unitary TQFTs from 3D $\mathcal{N}=4$ rank 0 SCFTs

Dongmin Gang, Sung-Joon Kim+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 86被引用 6

一句话总结

本文提出了一种3D $\mathcal{N}=4$ 零秩超共形场论（SCFT）与非幺正拓扑量子场论（TQFT）对之间的新颖对应关系，该关系源自SCFT的配分函数在退化极限下的推导。关键结果是，任意3D $\mathcal{N}=4$ 零秩SCFT的圆球面自由能 $F$ 存在一个普遍的下界：$F \geq -\log\left(\sqrt{(5-\sqrt{5})/10}\right) \approx 0.642965$，该下界由最小SCFT所饱和，其对应的TQFT均为李-杨TQFT。

ABSTRACT

We propose a novel procedure of assigning a pair of non-unitary topological quantum field theories (TQFTs), TFT$_\pm [\mathcal{T}_{ m rank \;0}]$, to a (2+1)D interacting $\mathcal{N}=4$ superconformal field theory (SCFT) $\mathcal{T}_{ m rank \;0}$ of rank 0, i.e. having no Coulomb and Higgs branches. The topological theories arise from particular degenerate limits of the SCFT. Modular data of the non-unitary TQFTs are extracted from the supersymmetric partition functions in the degenerate limits. As a non-trivial dictionary, we propose that $F = \max_α\left(- \log |S^{(+)}_{0α}| ight) = \max_α\left(- \log |S^{(-)}_{0α}| ight)$, where $F$ is the round three-sphere free energy of $\mathcal{T}_{ m rank \;0 }$ and $S^{(\pm)}_{0α}$ is the first column in the modular S-matrix of TFT$_\pm$. From the dictionary, we derive the lower bound on $F$, $F \geq -\log \left(\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}} ight) \simeq 0.642965$, which holds for any rank 0 SCFT. The bound is saturated by the minimal $\mathcal{N}=4$ SCFT proposed by Gang-Yamazaki, whose associated topological theories are both the Lee-Yang TQFT. We explicitly work out the (rank 0 SCFT)/(non-unitary TQFTs) correspondence for infinitely many examples.

研究动机与目标

• 对缺乏矢量分支和希格斯分支、因而被标准分类方法排除的3D $\mathcal{N}=4$ 零秩超共形场论进行分类。
• 通过超对称配分函数的退化极限，建立零秩SCFT与非幺正TQFT之间的新对偶关系。
• 从这些极限中，从SCFT的超对称指数和配分函数提取非幺正TQFT的模形式数据。
• 利用SCFT的自由能 $F$ 与TQFT模S矩阵元之间的新字典，推导出任意零秩SCFT的圆球面自由能 $F$ 的普遍下界。

提出的方法

• 作者分析了零秩SCFT的超对称配分函数在退化极限下的行为，特别是当R对称性参数 $\nu = \pm 1$ 时，玻色子/费米子抵消效应使指数大幅简化，仅依赖于环算符。
• 他们识别出在此类极限下，SCFT的配分函数退化为非幺正TQFT的配分函数，从而建立了两者之间的直接对应关系。
• 从所得TQFT的模S矩阵中提取其S矩阵元，并利用第一列元素 $S^{(\pm)}_{0\alpha}$ 定义了一个关键字典：$F = \max_\alpha \left( -\log |S^{(+)}_{0\alpha}| \right) = \max_\alpha \left( -\log |S^{(-)}_{0\alpha}| \right)$。
• 利用该字典，通过分析所有非幺正TQFT中 $\max_\alpha \left( -\log |S^{(\pm)}_{0\alpha}| \right)$ 的最小可能值，推导出 $F$ 的普遍下界。
• 该方法被应用于无穷多个例子，包括最小的 $ mathcal{N}=4$ SCFT，其对应的TQFT均为李-杨TQFT，验证了该下界可被饱和。
• 该分析依赖于复变围道积分技巧和量子多对数恒等式，以在退化极限下计算复杂的配分函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于缺乏矢量分支和希格斯分支的3D $ mathcal{N}=4$ 零秩SCFT，由于标准方法失效，如何对其进行分类？
• RQ2 在零秩SCFT的超对称配分函数背景下，退化极限 $\nu = \pm 1$ 的物理与数学意义是什么？
• RQ3 能否从零秩SCFT的配分函数中提取非幺正TQFT的模形式数据？这是否导致对自由能 $F$ 的普遍约束？
• RQ4 所有零秩SCFT的圆球面自由能 $F$ 是否存在普遍下界？若存在，其值是多少，以及哪一理论使其饱和？
• RQ5 零秩SCFT的结构与关联的非幺正TQFT之间的精确对应关系是什么，特别是在模S矩阵和配分函数方面？

主要发现

• 本文建立了3D $ mathcal{N}=4$ 零秩SCFT与非幺正TQFT对 TFT$_\pm$[T$_{\text{rank }0}$] 之间的一一对应关系，该对应关系源自SCFT配分函数的退化极限。
• 非幺正TQFT的模S矩阵元 $S^{(\pm)}_{0\alpha}$ 通过字典 $F = \max_\alpha \left( -\log |S^{(+)}_{0\alpha}| \right) = \max_\alpha \left( -\log |S^{(-)}_{0\alpha}| \right)$ 与圆球面自由能 $F$ 直接关联。
• 推导出 $F$ 的普遍下界：$F \geq -\log\left(\sqrt{(5 - \sqrt{5})/10}\right) \approx 0.642965$，该结果对所有零秩SCFT均成立。
• 该下界由冈与山崎提出的最小 $ mathcal{N}=4$ SCFT所饱和，其对应的TQFT均为李-杨TQFT。
• 该对应关系已在无穷多个例子中被显式验证，表明其在各类零秩SCFT中具有一致性。
• 推导过程依赖于复变围道积分与量子多对数恒等式，以在退化极限下计算配分函数，从而确认了非幺正TQFT从SCFT数据中的涌现。