[论文解读] Non-vanishing and sign changes of Hecke eigenvalues for half-integral weight cusp forms

Bin Chen, Jianliang Wu|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文研究了全纯尖形式在半整数权情形下的Hecke特征值的符号变化、非零性及分布，重点关注平方自由整数 $ t $ 对应的序列 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) $。通过Shimura提升与乘法函数理论，本文建立了第一个负系数的上界 $ n_{\mathfrak{f}} \ll (k^2N)^{9/20} $，证明了非零系数与符号变化系数具有正密度，并利用 $ \mathscr{B} $-自由数论方法，展示了在短区间与算术级数中存在无穷多个非零项。

ABSTRACT

In this paper, we consider three problems about signs of the Fourier coefficients of a cusp form $\\mathfrak{f}$ with half-integral weight:\\begin{itemize}\\item[--]The first negative coefficient of the sequence $\\{\\mathfrak{a}\\_{\\mathfrak{f}}(tn^2)\\}\\_{n\\in \\N}$,\\item[--]The number of coefficients $\\mathfrak{a}\\_{\\mathfrak{f}}(tn^2)$ of same signs,\\item[--]Non-vanishing of coefficients $\\mathfrak{a}\\_{\\mathfrak{f}}(tn^2)$ in short intervals and in arithmetic progressions,\\end{itemize}where $\\mathfrak{a}\\_{\\mathfrak{f}}(n)$ is the $n$-th Fourier coefficient of $\\mathfrak{f}$ and $t$ is a square-free integersuch that $\\mathfrak{a}\\_{\\mathfrak{f}}(t)\ ot=0$.

研究动机与目标

• 确定半整数权尖形式序列 $ \{\mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2)\}_{n \in \mathbb{N}} $ 中第一个负系数。
• 量化序列 $ \{\mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2)\} $ 中同号系数的数量。
• 在短区间与算术级数中建立 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) $ 的非零性结果。
• 通过提供有效上界与密度估计，拓展先前关于符号变化的研究。

提出的方法

• 利用Shimura提升将半整数权形式与整数权模形式关联，从而应用后者中的解析技术。
• 应用文献 [12, 13] 的方法，以 $ k $ 与 $ N $ 表示，推导第一个负系数 $ n_{\mathfrak{f}} $ 的上界。
• 运用乘法函数理论与指数和估计，分析非零系数与符号变化系数的密度。
• 引入 $ \mathscr{B}_{\mathfrak{f}} $-自由数系统以建模非零条件，结合筛法与多重指数和估计。
• 证明集合 $ \mathscr{B}_{\mathfrak{f}} $ 满足 $ \mathscr{B} $-自由数论的条件，包括倒数和的收敛性与两两互素性。
• 通过分部积分法与满足 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tp^2) = 0 $ 的素数 $ p $ 的个数的界，验证收敛条件 $ \sum_{b \in \mathscr{B}_{\mathfrak{f}}} b^{-1} < \infty $。

实验结果

研究问题

• RQ1 满足 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) < 0 $ 且 $ (n, N/2) = 1 $ 的最小 $ n $ 是多少？
• RQ2 序列 $ \{\mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2)\} $ 中有多少项具有相同符号，其自然密度为何？
• RQ3 系数 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) $ 是否在短区间与算术级数中保持非零？
• RQ4 能否利用 $ \mathscr{B} $-自由数建模非零系数的分布？

主要发现

• 序列 $ \{\mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2)\} $ 中第一个负系数 $ n_{\mathfrak{f}} $ 满足 $ n_{\mathfrak{f}} \ll (k^2N)^{9/20} $，其中隐含常数与 $ k $ 和 $ N $ 无关。
• 在 $ x $ 以内，非零系数 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) $ 的数量渐近为 $ \rho_{\mathfrak{f}} x \{1 + O_{\mathfrak{f},\varepsilon}((\log x)^{-1/4 + \varepsilon})\} $，其中 $ \rho_{\mathfrak{f}} > 0 $ 为正密度常数。
• 在 $ x $ 以内，正系数与负系数 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) $ 的数量各自具有密度 $ \frac{1}{2}\rho_{\mathfrak{f}} x \{1 + O_{\mathfrak{f},\varepsilon}((\log x)^{-1/4 + \varepsilon})\} $。
• 对任意 $ \varepsilon > 0 $，存在 $ \gg_{\mathscr{B}_{\mathfrak{f}},\varepsilon} y $ 个 $ \mathscr{B}_{\mathfrak{f}} $-自由整数 $ n \in (x, x+y] $，其中 $ y \gg x^{7/17 + \varepsilon} $，确保 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) $ 在短区间中非零。
• 在算术级数 $ n \equiv a \pmod{q} $ 中，当 $ q \leq x^{\varepsilon} $ 且 $ \gcd(a,q) $ 与所有 $ b \in \mathscr{B}_{\mathfrak{f}} $ 互素时，存在 $ \gg_{\mathscr{B}_{\mathfrak{f}},\varepsilon} y/q $ 个满足 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) \neq 0 $ 的 $ n $，其中 $ y \gg x^{17/38 + 100\varepsilon} $。
• 集合 $ \mathscr{B}_{\mathfrak{f}} $ 同时满足 $ \sum_{b \in \mathscr{B}_{\mathfrak{f}}} b^{-1} < \infty $ 与两两互素性，验证了其在 $ \mathscr{B} $-自由数论中的适用性。