[论文解读] Non vanishing divisors for general cyclic covers and their Thomae formula

Yaacov Kopeliovich|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文引入了一类在一般循环覆盖 CP¹ 上的非正除子，其次数为 g−1，支点的原像上具有支集，使得标准 theta 函数在其雅可比图像上不为零。通过推广 [BR]、[Na] 和 [EG] 的工作，利用广义 Accola 框架和 Nakayashiki 对奇异循环覆盖的方法，证明了在非标准周期的行列式修正下，这些除子上的 theta 函数值是支点的多项式。

ABSTRACT

Abstract. Let X be a general cyclic cover of CP1 ramified at m points, λ1...λm. we define a class of non positive divisors on X of degree g−1 supported in the pre images of the branch points on X, such that the the standard theta function doesn’t vanish on their image in J(X). These divisors generalize the divisors introduced in [BR] and [Na]. Generalizing the results of [BR],[Na] and [EG] we show that up to a certain determinant of the non standard periods of X, the value of the theta functions at these divisors is a polynomial in the branch point of the curve X. Our treatment is based on a generalization of Accola’s results of the 3 cyclic sheeted cover [Ac1] and a straightforward generalization of Nakayashiki’s approach explained in [Na] in the non singular case for any singular cyclic cover. 1.

研究动机与目标

• 定义一般 CP¹ 循环覆盖上一类新的次数为 g−1 的非正除子，其支集位于支点的原像上。
• 将此类除子上 theta 函数的非零性质从非奇异情形推广至奇异循环覆盖。
• 证明这些除子上标准 theta 函数的值在非标准周期的行列式修正下，是支点的多项式。
• 将 Accola 对三叶覆盖的结果以及 Nakayashiki 的方法推广至任意奇异循环覆盖。
• 在具有任意分歧的广义循环覆盖背景下，为 Thomae 型公式提供统一框架。

提出的方法

• 将 Accola 对三叶循环覆盖的结果推广至具有 m 个分歧点的 CP¹ 上任意循环覆盖。
• 在覆盖空间 X 上构造一类支集位于 m 个支点原像上的次数为 g−1 的除子类。
• 采用 Nakayashiki 方法处理非奇异覆盖，并通过一致处理周期将其推广至奇异循环覆盖。
• 引入一个涉及非标准周期的行列式因子，以归一化 theta 函数的值。
• 证明归一化后的 theta 函数值是支点 λ₁,…,λₘ 的多项式。
• 将广义框架应用于推导奇异循环覆盖上该类除子的 Thomae 型公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般 CP¹ 循环覆盖上定义一类次数为 g−1 的非正除子，使得标准 theta 函数在其雅可比图像上不为零？
• RQ2 这些除子上标准 theta 函数的值如何依赖于覆盖的支点？
• RQ3 Nakayashiki 对非奇异覆盖的方法在多大程度上可推广至奇异循环覆盖？
• RQ4 非标准周期的行列式在归一化 theta 函数值的过程中起什么作用？
• RQ5 能否在广义循环覆盖设定下为这类除子建立 Thomae 型公式？

主要发现

• 在一般 CP¹ 循环覆盖上构造了一类新的次数为 g−1 的非正除子，其支集位于 m 个支点的原像上。
• 标准 theta 函数在这些除子于雅可比簇 J(X) 上的像处不为零，推广了 [BR] 和 [Na] 的结果。
• 在非标准周期的行列式修正下，这些除子上 theta 函数的值是支点 λ₁,…,λₘ 的多项式。
• 该框架将 Accola 对三叶覆盖的结果推广至任意循环覆盖，包括奇异情形。
• 该方法成功将 Nakayashiki 的方法扩展至奇异循环覆盖，实现了 Thomae 公式的统一处理。
• 本文建立了归一化 theta 函数值与支点之间的多项式依赖关系，为一般情形提供了构造性的 Thomae 型公式。