[论文解读] Non-vanishing for cubic $L$--functions

Chantal David, Alexandra Florea+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 28被引用 5

一句话总结

该论文通过使用经修饰的矩量法以及基于 Soundararajan、Harper 和 Lester–Radziwiłł 技术推导出的第二矩量的精确上界，证明了在 $\mathbb{F}_q[T]$ 上满足 $q \equiv 2 \pmod{3}$ 的立方 $L$-函数中，有正比例的函数在中心临界点 $s = 1/2$ 处不为零。该比例是显式的，但由于矩量上界中隐含常数较大，因此比例极小。

ABSTRACT

We prove that there is a positive proportion of $L$-functions associated to cubic characters over $\mathbb{F}_q[T]$ that do not vanish at the critical point $s=1/2$. This is achieved by computing the first mollified moment using techniques previously developed by the authors in their work on the first moment of cubic $L$-functions, and by obtaining a sharp upper bound for the second mollified moment, building on work of Lester-Radziwill, which in turn develops further ideas from the work of Soundararajan, Harper, and Radziwill-Soundararajan. We work in the non-Kummer setting when $q \equiv 2\pmod{3}$, but our results could be translated into the Kummer setting when $q\equiv 1\pmod{3}$ as well as into the number field case (assuming the Generalized Riemann Hypothesis). Our positive proportion of non-vanishing is explicit, but extremely small, due to the fact that the implied constant in the upper bound for the mollified second moment is very large.

研究动机与目标

• 在函数域设定下，建立在中心临界点 $s = 1/2$ 处非零的立方 $L$-函数的正比例。
• 将经修饰的矩量法扩展至立方 $L$-函数，基于此前对二次扭量的研究成果。
• 获得立方 $L$-函数第二经修饰矩量的精确上界，利用近期在矩量理论方面的进展。
• 表明非零比例是显式的，尽管由于矩量上界中隐含常数较大，该比例极小。
• 将结果扩展至非 Kummer 情形（$q \equiv 2 \pmod{3}$），并建议在 GRH 假设下可推广至 Kummer 情形及数域情形。

提出的方法

• 通过推广先前对第一矩量的研究技术，计算 $\mathbb{F}_q[T]$ 上立方 $L$-函数的第一经修饰矩量。
• 应用第二经修饰矩量的精确上界，借鉴 Soundararajan、Harper 和 Lester–Radziwiłł 在 $|\zeta(1/2 + it)|$ 矩量方面的突破性成果。
• 使用柯西-施瓦茨不等式，从第一和第二经修饰矩量推导出非零 $L$-函数的正比例。
• 将经修饰矩量分解为关于首一不可约多项式的欧拉乘积，并对局部因子进行仔细估计。
• 应用素多项式定理和指数和估计，控制矩量渐近展开中的误差项。
• 使用截断参数 $J$ 和二元分解，将 mollifier 中低次多项式贡献局部化，以确保收敛性和误差控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在满足 $q \equiv 2 \pmod{3}$ 的 $\mathbb{F}_q[T]$ 上，立方 $L$-函数在 $s = 1/2$ 处不为零的比例是多少？
• RQ2 经修饰矩量法能否扩展至立方 $L$-函数，即使更高阶矩量的渐近行为尚不明确？
• RQ3 第二经修饰矩量上界中隐含常数的大小如何？它如何影响非零比例？
• RQ4 非 Kummer 情形下的非零结果能否推广至 Kummer 情形或在 GRH 假设下的数域情形？
• RQ5 经修饰矩量欧拉乘积中的局部因子如何贡献于整体渐近行为？

主要发现

• 该论文证明了在满足 $q \equiv 2 \pmod{3}$ 的 $\mathbb{F}_q[T]$ 上，原始立方狄利克雷特征中存在正比例的 $L$-函数在 $s = 1/2$ 处不为零。
• 该正比例是显式的，但极小，其下界为 $1 - \frac{1}{e^{e^{84}}}$，原因在于第二矩量上界中隐含常数极大。
• 第一经修饰矩量被显式计算，推广了此前关于立方 $L$-函数第一矩量的研究成果。
• 获得了第二经修饰矩量的精确上界，其依赖于 Soundararajan、Harper 和 Lester–Radziwiłł 的技术。
• 在最坏情况（$q = 5$）下，经修饰矩量的主项下界为 $0.6143 \, q^{g+2}$，从而确保了非零比例的正下界。
• 该方法适用于非 Kummer 情形（$q \equiv 2 \pmod{3}$），且预计可推广至 Kummer 情形（$q \equiv 1 \pmod{3}$）及在 GRH 假设下的数域情形。