[论文解读] Non-vanishing modulo p of central critical Rankin-Selberg L-values with anticyclotomic twists

Miljan Brakočević|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文建立了在 $p$-进意义下中心临界 Rankin-Selberg $L$-值的非零性，其中 $L$-函数来自一个尖形式与一个与虚二次域上算术 Hecke 特征标相关的 theta 级数的乘积，且该 $L$-值经由 $\ell$-幂次导子的反循环特征标扭。该结果将 Hida 和 Sun 的先前工作推广至更高权的 Hecke 特征标，并依赖于 CM 点在 Shimura 簇上的 Zariski 稠密性以及一个显式的 Waldspurger 公式。

ABSTRACT

We prove non-vanishing modulo p, for a prime $\ell$ different from p, of central critical Rankin-Selberg L-values with anticyclotomic twists of $\ell$-power conductor. The L-function is Rankin product of a cusp form and a theta series of arithmetic Hecke character of an imaginary quadratic field. The paper is concerned with the case when the weight of Hecke character is greater than that of cusp form, so the L-value is essentially different in nature from the one in the landmark work of Vatsal and Cornut-Vatsal on the same theme.

研究动机与目标

• 将中心临界 $L$-值模 $p$ 的非零性结果从水平为 1 的形式推广至任意水平 $N \geq 1$ 和字型 $\psi$ 的尖形式。
• 将结果推广至 $\infty$-型为 $(k+m, -m)$ 且 $m \geq 0$ 的算术 Hecke 特征标 $\lambda$，与以往 $m=0$ 的情形不同。
• 在 Hecke 特征标的权高于尖形式的权时，建立非零性，此时 $L$-值的性质与经典情形不同。
• 为反循环扭的导子提供精确条件，以确保模 $p$ 下的非零性，特别是在整除 $N$ 的非分裂素数处。
• 为后续配套论文中计算反循环 $p$-进 $L$-函数的 $\mu$-不变量奠定基础。

提出的方法

• 利用 Hida 在 [Hi04] 和 [Hi10a] 中发展的模形式 Shimura 变换上的 CM 点的 Zariski 稠密性这一关键工具。
• 应用 [Hi10b] 中最近计算出的周期积分的显式 Waldspurger 公式，将 $L$-值与代数周期联系起来。
• 运用 $\mathrm{Res}_{M/\mathbb{Q}}G$ 上的基底提升理论，将自守表示 $\pi_{\mathbf{f}}$ 与感兴趣的 $L$-函数联系起来。
• 构造一个 Hecke 特征标 $\lambda = \lambda_0 \chi_0$，其中 $\chi_0$ 的导子为 $\ell$-幂次且在非分裂素数处具有足够的分歧性，以确保非零性。
• 利用 Čebotarev 稠密性定理，构造满足 $a(l,f) \not\equiv 0 \pmod{p}$ 的素数 $l$，从而确保 $L$-值模 $p$ 下的非零性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，尖形式与 theta 级数的 Rankin-Selberg 乘积的中心临界 $L$-值模 $p$ 会消失？
• RQ2 当 Hecke 特征标具有更高权（$m > 0$）时，与尖形式相比，此类 $L$-值模 $p$ 的非零性如何表现？
• RQ3 反循环扭的导子深度在确保非零性中起什么作用，特别是在整除 $N$ 的非分裂素数处？
• RQ4 在适当的分歧性和线性不相交性假设下，当 $\ell \mid N$ 时，是否仍可建立模 $p$ 下的非零性？
• RQ5 这些 $L$-函数的代数特殊值与 $p$-进特殊值之间有何关系，特别是在 $\mu$-不变量的背景下？

主要发现

• 对于导子为 $\ell$-幂次的反循环扭 $\chi$ 的正密度集合，中心临界 $L$-值 $L(1/2, \hat{\pi}_{\mathbf{f}} \otimes \lambda^{-})$ 模 $p$ 非零。
• 非零性在条件 $\chi_0$ 的导子 $c_{ns} = \prod_{l \mid N_{ns}} l^{\tilde{\nu}(l)}$ 满足 $\tilde{\nu}(l) \geq \nu(l)$ 下成立，从而确保在非分裂素数处具有足够的分歧性。
• 即使 $\ell \mid N$，只要伽罗瓦表示 $K = \overline{\mathbb{Q}}^{\ker \bar{\rho}}$ 与 $\mathbb{Q}(\mu_{\ell^\infty})$ 线性不相交，该结果仍然成立。
• 当 $\pi_{\mathbf{f},\ell}$ 为特殊表示时，非零性在 $\ell \mid N$ 的情况下也无条件成立。
• 证明构造了无穷多个素数 $l$，使得 $a(l,f) \not\equiv 0 \pmod{p}$ 且 $l \equiv v(r_0 q_0)^{-1} \pmod{\ell^s}$，从而确保 $L$-值模 $p$ 下的非零性。