[论文解读] Nonabelian harmonic analysis and functional equations on compact groups

Jinpeng An, Dilian Yang|ArXiv.org|Sep 4, 2008

Functional Equations Stability Results参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文通过非交换调和分析与表示理论，解决了在紧致群上的一般化函数方程，表明所有 $L^2$-解均通过 $SU(2)$ 或 $O(2)$ 因子分解，并完全刻画了威尔逊方程与达朗贝尔长方程的解为映射到 $SU(2)$ 的同态的迹，从而解决了紧致群上函数方程领域长期存在的开放问题。

ABSTRACT

Making use of nonabelian harmonic analysis and representation theory, we solve the functional equation $$f_1(xy)+f_2(yx)+f_3(xy^{-1})+f_4(y^{-1}x)=f_5(x)f_6(y)$$ on arbitrary compact groups. The structure of its general solution is completely described. Consequently, several special cases of the above equation, in particular, the Wilson equation and the d'Alembert long equation, are solved on compact groups.

研究动机与目标

• 完全刻画任意紧致群上函数方程 $f_1(xy) + f_2(yx) + f_3(xy^{-1}) + f_4(y^{-1}x) = f_5(x)f_6(y)$ 的所有 $L^2$-解。
• 通过将其简化为该一般形式，解决在紧致群上求解威尔逊方程与达朗贝尔长方程的开放问题。
• 建立所有这些方程的非平凡解均通过 $SU(2)$ 因子分解，将先前针对连通紧致群的结果推广至任意紧致群。
• 利用傅里叶变换与表示理论，将解空间完全分解为齐次部分与特解部分。
• 根据进入 $U(1)$、$O(2)$、$SU(2)$ 与 $O(3)$ 的不可约表示，对所有纯归一化解进行分类。

提出的方法

• 对紧致群 $G$ 的单位酉对偶 $\hat{G}$ 上的函数方程应用非交换傅里叶变换，将其转化为矩阵方程族。
• 定义对应于 $\hat{G}$ 中三类不可约表示的复、实或四元数类型可接受矩阵元组。
• 通过线性代数技术求解所得矩阵方程，对所有可接受元组进行分类。
• 利用傅里叶逆变换公式，从变换后的矩阵解重构一般 $L^2$-解。
• 将解空间分解为齐次解空间（即满足 $f_1(xy)+f_2(yx)+f_3(xy^{-1})+f_4(y^{-1}x)=0$ 的解）与纯归一化解的直和。
• 利用映射到 $O(1)$、$O(2)$ 与 $SU(2)$ 的表示，构造齐次方程解空间中中心函数正交补的生成集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意紧致群上，一般化函数方程 $f_1(xy)+f_2(yx)+f_3(xy^{-1})+f_4(y^{-1}x)=f_5(x)f_6(y)$ 的所有 $L^2$-解的完整结构是什么？
• RQ2 在紧致群上，威尔逊方程与达朗贝尔长方程的所有非平凡解是否均通过 $SU(2)$ 因子分解？
• RQ3 达朗贝尔长方程的解与经典达朗贝尔方程的解之间有何关系？
• RQ4 一般化方程的解空间是否可分解为齐次解与纯归一化解之和？
• RQ5 不可约表示进入 $U(1)$、$O(2)$、$SU(2)$ 与 $O(3)$ 在生成一般解中起何作用？

主要发现

• 通过傅里叶变换与表示理论，完全描述了紧致群上一般化函数方程的所有 $L^2$-解，其解来源于可接受的矩阵元组。
• 在紧致群上，威尔逊方程 $f(xy)+f(xy^{-1})=2f(x)g(y)$ 的所有非平凡解均具有形式 $f(x)=a\operatorname{tr}(\pi(x))$，$g(x)=\frac{1}{2}\operatorname{tr}(\pi(x))$，其中 $\pi: G \to SU(2)$ 为同态，$a \in \mathbb{C}$。
• 在紧致群上，达朗贝尔长方程 $f(xy)+f(yx)+f(xy^{-1})+f(y^{-1}x)=4f(x)f(y)$ 的所有非平凡解均具有形式 $f(x)=\frac{1}{2}\operatorname{tr}(\pi(x))$，其中 $\pi: G \to SU(2)$，与经典达朗贝尔方程的解一致。
• 达朗贝尔长方程与经典达朗贝尔方程的一般解完全相同，证实长形式未产生新解。
• 方程 $f(xy)+f(xy^{-1})+f(yx)+f(y^{-1}x)=h(x)k(y)$ 的所有非平凡解均通过 $O(2)$ 或 $SU(2)$ 因子分解，且其显式形式可表示为表示的迹。
• 一般化方程的解空间可分解为齐次解空间与纯归一化解空间的直和，后者由进入 $U(1)$、$O(2)$、$SU(2)$ 与 $O(3)$ 的不可约表示完全刻画。