[论文解读] Nonabelian holomorphic Lie algebroid extensions

Ugo Bruzzo, Igor Mencattini+2 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过Čech上链类对非交换全纯李代数丛扩张进行分类，并构建了一个推广Hochschild-Serre谱序列的全纯李代数丛谱序列。关键结果为：在紧致凯勒流形上，全纯线丛的阿蒂yah代数的上同调继承了自然的( k−1,k )型霍奇结构，且由于霍奇分解，该谱序列在第二步处退化。

ABSTRACT

We classify nonabelian extensions of Lie algebroids in the holomorphic category. Moreover we study a spectral sequence associated to any such extension. This spectral sequence generalizes the Hochschild-Serre spectral sequence for Lie algebras to the holomorphic Lie algebroid setting. As an application, we show that the hypercohomology of the Atiyah algebroid of a line bundle has a natural Hodge structure.

研究动机与目标

• 在复流形设定下对全洁李代数丛的非交换扩张进行分类。
• 为这类扩张构造一个谱序列，将其推广为全洁李代数丛情境下的Hochschild-Serre谱序列。
• 证明当基流形为紧致凯勒流形时，全洁线丛的阿蒂yah代数的上同调自然地具有霍奇结构。
• 提供障碍类与扩张分类的显式Čech上链类构造。

提出的方法

• 作者通过如下层的短正合列定义全洁李代数丛的非交换扩张：$0 \to \mathscr{L} \to \mathscr{A} \to \mathscr{B} \to 0$。
• 通过李代数丛态射层的上同调中的Čech上链类显式构造障碍类。
• 证明扩张的同构类集合构成一个合适的上同调群上的挠子（torsor）。
• 在de Rham复形$\Omega_{\mathscr{A}}^{\bullet}$上引入一个滤子，由此诱导出一个收敛于上同调$\mathbb{H}(X, \Omega_{\mathscr{A}}^{\bullet})$的谱序列。
• 在阿蒂yah代数情形下，$E_1$项被描述为$\mathbb{H}^q(X; \Omega_{\mathscr{L}}^\bullet \otimes \Omega_{\mathscr{B}}^p) \simeq H^q(X; \Omega_X^p) \oplus H^{q-1}(X; \Omega_X^p)$。
• 微分$d_1$被显式计算为$d_1(\xi_q, \xi_{q-1}) = (d_X\xi_q + c_1(\mathscr{M}) \smile \xi_{q-1}, d_X\xi_{q-1})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 决定全洁李代数丛非交换扩张是否存在性的障碍类在上同调中的具体形式为何？
• RQ2 此类扩张的同构类集合应如何分类？
• RQ3 与李代数丛扩张相关的谱序列在全洁设定下如何推广Hochschild-Serre谱序列？
• RQ4 在何种条件下该谱序列会退化？这又对上同调结构意味着什么？
• RQ5 全洁线丛的阿蒂yah代数的上同调是否具有霍奇结构？

主要发现

• 将全洁李代数丛$\mathscr{B}$通过一个完全非平移的李代数丛$\mathscr{L}$扩张的障碍位于由Čech上链类构造的特定上同调类中。
• 扩张的同构类集合构成上同调群$\mathbb{H}^1(X; \text{Hom}(\mathscr{B}, \mathscr{L}))$上的一个挠子。
• 与李代数丛扩张相关的谱序列推广了Hochschild-Serre谱序列，并收敛于总李代数丛的de Rham复形的上同调。
• 对于全洁线丛$\mathscr{M}$的阿蒂yah代数$\mathscr{D}_{\mathscr{M}}$，微分$d_1$由$d_1(\xi_q, \xi_{q-1}) = (d_X\xi_q + c_1(\mathscr{M}) \smile \xi_{q-1}, d_X\xi_{q-1})$给出。
• 当基流形$X$为紧致凯勒流形时，谱序列在第二步退化，意味着$d_2 = 0$。
• 上同调$\mathbb{H}^k(X; \Omega_{\mathscr{D}_{\mathscr{M}}}^{\bullet})$继承了( k−1,k )型的霍奇结构，且其霍奇分解与$ c_1(\mathscr{M}) $的上积相容。