[论文解读] Nonadditive statistical measure of complexity and values of the entropic index q

Sumiyoshi Abe, P Landsberg+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2004

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于Tsallis熵的双参数非加性统计复杂性度量族，统一了先前的复杂性度量。它识别出q* ≈ 1.4336为最优熵指数，此时复杂性度量在逻辑斯蒂映射的混沌边缘恰好达到峰值，表明非加性统计能比加性对应物更准确地捕捉临界复杂性转变。

ABSTRACT

A two-parameter family of statistical measures of complexity are introduced based on the Tsallis-type nonadditive entropies. This provides a unified framework for the study of the recently proposed various measures of complexity as well as for the discussion of a whole new class of measures. As a special case, a generalization of the measure proposed by Landsberg and his co-workers based on the Tsallis entropy indexed by q is discussed in detail and its behavior is illustrated using the logistic map. The value of the entropic index, q, with which the maximum of the measure of complexity is located at the edge of chaos, is calculated.

研究动机与目标

• 在非加性熵的基础上，将现有的配置复杂性统计度量统一到一个单一框架下。
• 使用可变熵指数q的Tsallis熵，推广Landsberg型复杂性度量。
• 确定使复杂性度量在动力系统混沌边缘达到峰值的最优q值。
• 证明非加性复杂性度量在捕捉临界转变方面优于传统加性度量。

提出的方法

• 将双参数复杂性度量Cq,q′[p]定义为Tsallis熵Sq[p]与从均匀概率（CR）状态出发的广义Kullback-Leibler散度Kq[p||peq]的乘积。
• 特例化为单参数情形q = q′，得到Cq[q] = Sq[p] · Γq[p]，其中Γq为对均匀概率的q-广义偏离度量。
• 使用符号动力学将逻辑斯蒂映射的轨迹映射为长度为12的二进制字符串，形成大小为2^12的离散状态空间。
• 通过长时间迭代（10^6步）计算经验概率pi，实现Sq和Kq的数值评估。
• 通过求解∆q = 1/2，其中∆q = Sq[p]/Seq[q]为归一化的Tsallis熵，数值确定q*。
• 分析Cq[q]在不同q值下的行为，并在混沌起始点（ac ≈ 1.401155）处定位最大值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在逻辑斯蒂映射的混沌边缘，使非加性复杂性度量达到最大的熵指数q为何值？
• RQ2 所提出的双参数复杂性度量如何统一基于Tsallis熵的现有度量？
• RQ3 非加性统计力学是否能比加性度量更好地捕捉临界转变处的复杂性？
• RQ4 当q被优化时，广义复杂性度量Cq[q]是否在混沌起始点达到峰值？
• RQ5 Tsallis熵与Kullback-Leibler散度在表征复杂性方面存在何种定量关系？

主要发现

• 在混沌边缘实现最大复杂性的最优熵指数为q* ≈ 1.433601669。
• 复杂性度量Cq[q]在逻辑斯蒂映射的临界参数值ac ≈ 1.401155189处达到最大值。
• 当q* = 1.4336时，度量Cq[q]显著优于标准q=1（Boltzmann-Shannon）情形，后者在混沌边缘并未出现峰值。
• 广义偏离度量Γq的最大值出现在∆q = Sq[p]/Seq[q] = 1/2时，该条件定义了最优q*。
• 统一的双参数族Cq,q′[p]包含了所有先前提出的复杂性度量作为特例。
• 数值结果证实，当q* = 1.4336时，Cq[q]在周期到混沌动力学的转变处表现出尖锐峰值，表明对临界复杂性的敏感性显著增强。