[论文解读] Nonadiabatic Quantum Annealing for One-Dimensional Trasverse-Field Ising Model

Hitoshi Katsuda, Hidetoshi Nishimori|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种非绝热量子退火方法，用重复的短时退火试验替代长时间的绝热演化，通过收集最终态来识别基态。对于一维横向场伊辛模型，该文在分析和数值上证明了计算复杂度仍保持为 O(N²)，与绝热量子退火一致，同时展现出对环境扰动的潜在鲁棒性。

ABSTRACT

We propose a nonadiabatic approach to quantum annealing, in which we repeat quantum annealing in nonadiabatic time scales, and collect the final states of many realizations to find the ground state among them. In this way, we replace the diffculty of long annealing time in adiabatic quantum annealing by another problem of the number of nonsidabatic (short-time) trials. The one-dimensional transverse-field Ising model is used to test this idea, and it is shown that nonadiabatic quantum annealing has the same computational complexity to find the ground state as the conventional adiabatic annealing does. This result implies that the nonadiabatic method may be used to replace adiabatic annealing to avoid the effects of external disturbances, to which the adiabatic method is more prone than the nonadiabatic counterpart.

研究动机与目标

• 为解决绝热量子退火中长退火时间的问题，特别是针对能量间隙呈指数级小的 NP-难问题。
• 探讨非绝热量子退火——即使用短时非绝热时间尺度——是否能实现与绝热退火相同的计算复杂度。
• 测试重复非绝热试验在寻找量子自旋系统基态方面的可行性和效率。
• 评估非绝热退火相对于绝热方法在外部扰动下的鲁棒性。

提出的方法

• 该方法采用重复的非绝热量子退火循环，每个循环持续时间短 τ，每次运行后收集最终态。
• 时间演化使用含时横向场的伊辛哈密顿量建模，并分解为动量空间模式。
• 对于小 q-模式，动力学在 t = τ/2 附近近似为兰道-济南型跃迁，此时能隙最小。
• 利用路径积分方法和抛物柱面函数，估算单次非绝热运行后仍保持在基态的概率。
• 将找到基态所需的平均试验次数近似为 1/P_GS，并将总时间分析为 τ/P_GS 以确定计算复杂度。
• 对 ln P_GS 的积分表达式应用渐近近似，得到涉及黎曼 zeta 函数 ζ(3/2) 的简化形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 非绝热量子退火能否在 1D 横向场伊辛模型中实现与绝热量子退火相同的计算复杂度？
• RQ2 用重复的短时非绝热试验替代长时绝热演化，是否能保持最小退火时间的 O(N²) 缩放？
• RQ3 非绝热方法是否比其绝热对应方法更具鲁棒性？
• RQ4 最小化总时间 τ/P_GS 的最优退火时间 τ 是多少？
• RQ5 对基态概率 P_GS 的解析近似与薛定谔方程的数值解相比表现如何？

主要发现

• 非绝热量子退火在 1D 横向场伊辛模型中的计算复杂度为 O(N²)，与绝热量子退火的复杂度一致。
• 最小化总时间 τ/P_GS 的最优退火时间 τ 为 τ = (N²/4π²) × ζ(3/2)²，其中 ζ(3/2) ≈ 2.61248。
• 找到基态的最小总时间约为 1.27732 × N²，由 (N/2π × ζ(3/2))² × e² 推导得出。
• 对单个 q-模式求解薛定谔方程的数值结果表明，τ/P_GS 的缩放为 O(N²)，验证了分析预测。
• 在渐近区域，试验次数的标准差可忽略不计，保持了 O(N²) 的复杂度。
• 由于时间尺度更短且对扰动不敏感，非绝热方法预计比绝热演化更具鲁棒性。