[论文解读] Nonarchimedean Bornologies, Cyclic Homology and Rigid Cohomology

Guillermo Cortiñas⋆, Joachim Cuntz+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文提出了一种函子性、显式的链复形，通过 V-代数的有界完备化，用于计算有限生成 k-代数 A 的 Berthelot 的刚性上同调，其中 V 是一个完备离散赋值环。该复形被证明可计算刚性上同调，并显示其与由 J-Adic 有界完备化构造的拟代数的周期循环上同调同构，从而通过谱半径估计和 dagger 完备化，将刚性上同调与循环上同调联系起来。

ABSTRACT

Let $V$ be a complete discrete valuation ring with residue field $k$ and with fraction field $K$ of characteristic 0. We clarify the analysis behind the Monsky--Washnitzer completion of a commutative $V$-algebra using spectral radius estimates for bounded subsets in complete bornological $V$-algebras. This leads us to a functorial chain complex for commutative $k$-algebras that computes Berthelot's rigid cohomology. This chain complex is related to the periodic cyclic homology of certain complete bornological $V$-algebras.

研究动机与目标

• 为有限生成 k-代数构造一个自然的、显式的、函子性的链复形，以计算 Berthelot 的刚性上同调。
• 通过完备有界 V-代数中的谱半径估计，阐明 Monsky–Washnitzer 完备化。
• 通过交换 V-代数的有界完备化，建立刚性上同调与周期循环上同调之间的函子性联系。
• 提供一个概念性框架，推广弱完备化，并将其与刚性解析几何中的管状代数和可接受覆盖联系起来。

提出的方法

• 通过有界子集的谱半径增长受控的参数 α ∈ [0,1]，在 V-代数 R 上定义 J-Adic 有界结构。
• 构造 J-Adic 有界完备化 RJ,α，使其为满足 finitely generated V-子模 J 的谱半径 ≤ ǫ^α 的最小完备化，其中 ǫ = |π|。
• 对一个 k-代数 A，将其表示为 R → A 的商，其中 R = V[A] 是 A 上的自由 V-代数。
• 构造项目系 (RJ,1/m)，其中 m ∈ ℕ≥1，并取 de Rham 复形 (RJ,1/m ⊗R Ω*_{R}, d) 的同伦极限。
• 证明该同伦极限复形同伦等价于刚性解析几何中管 ]Z[ 上的 de Rham 复形，从而计算刚性上同调。
• 利用平坦性与 dagger-连续同伦的同伦不变性，建立拟代数 (RJ,1/m) 的周期循环上同调与 A 的周期刚性上同调之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个函子性、显式的链复形，以计算刚性上同调，而无需依赖非典范的提升选择？
• RQ2 如何通过有界结构将 Monsky–Washnitzer 完备化推广至非有限生成和非诺特的 V-代数？
• RQ3 有界子集在有界代数中的谱半径与 dagger 完备化的收敛性之间的精确关系为何？
• RQ4 在混合特征下，周期循环上同调与刚性上同调之间是否存在自然联系？

主要发现

• de Rham 复形 (RJ,1/m ⊗R Ω*_{R}, d) 的同伦极限计算了有限生成 k-代数 A 的刚性上同调。
• 该复形是函子性的，且不依赖于 R → A 的表示选择，由 dagger-连续同伦不变性所证明。
• 拟代数 (RJ,1/m) 的周期循环上同调同构于 A 的周期刚性上同调。
• J-Adic 有界完备化 RJ,α 同构于管状代数 T1/α(R,J)† ⊗K 的完备化，从而与刚性解析几何建立联系。
• 谱半径条件 ̺(S) ≤ ǫ^α 刻画了完备化 RJ,α，将 Monsky–Washnitzer 完备化推广至非有限生成代数。
• 管 ]Z[ 被 Sp(RJ,1/m) 的可接受覆盖所覆盖，使得上同调可通过这些仿射 dagger 空间上 de Rham 复形的同伦极限来计算。