[论文解读] Nonbinary Quantum Stabilizer Codes

Alexei Ashikhmin, Emanuel Knill|ArXiv.org|May 1, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提出了一种利用有限域 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的自正交码构造非二元量子稳定码的一般框架，其中 $q = p^m$ 为素数幂。通过将基于迹函数的内积和非二元误差基推广二元稳定码构造方法，该研究将 $q$-元量子码与经典自正交码联系起来，从而能够直接构造出具有已知参数和最小距离的量子码。

ABSTRACT

We define and show how to construct nonbinary quantum stabilizer codes. Our approach is based on nonbinary error bases. It generalizes the relationship between selforthogonal codes over $GF_{4}$ and binary quantum codes to one between selforthogonal codes over $GF_{q^2}$ and $q$-ary quantum codes for any prime power $q$.

研究动机与目标

• 将量子稳定码理论从二元系统扩展至素数幂 $q$ 的非二元量子系统，定义在 $\mathbb{F}_{q^m}$ 上。
• 基于 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的经典自正交码，建立 $q$-元量子稳定码的系统化构造方法。
• 利用域论工具，将基于 $\mathbb{F}_4$ 的二元构造推广至任意素数幂维的量子系统。
• 在已知性能优良的经典自正交码与具有高最小距离的新非二元量子码之间建立桥梁。
• 证明在特定基于迹的内积下，$\mathbb{F}_{p^m}$-线性码若满足自正交性，则可生成具有可预测参数的有效量子码。

提出的方法

• 通过迹函数 $\mathop{tr}: \mathbb{F}_{p^m} \to \mathbb{F}_p$ 定义非二元误差基，从而在 $p^m$ 维希尔伯特空间上定义量子误差算符。
• 在 $\mathbb{F}_{p^m}^n \times \mathbb{F}_{p^m}^n$ 上定义一个辛内积：$({\bf a},{\bf b}) * ({\bf a}',{\bf b}') = \mathop{tr}(\langle{\bf a},{\bf b}'\rangle_* - \langle{\bf a}',{\bf b}\rangle_*)$，其中 $\langle{\bf a},{\bf b}\rangle_* = \sum_i a^{(i)}b^{(i)}$。
• 从在该内积下自正交的 $\mathbb{F}_p$-线性码 $C \subseteq \mathbb{F}_{p^m}^{2n}$ 构造量子稳定码。
• 通过 $C$ 的基向量 $({\bf a}_i, \phi({\bf b}_i))$ 生成稳定子群，其中 $\phi$ 是由迹形式诱导的同构，得到维度为 $p^{mn - r}$ 的码，其中 $|C| = p^r$。
• 利用 $C^\perp \setminus C$ 中向量的权重确定最小距离 $d = \min\{\mathop{wt}({\bf v}) \mid {\bf v} \in C^\perp \setminus C\}$。
• 应用 Bierbrauer 和 Edel 的已知自正交码构造方法，生成具有优良参数的显式量子码。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的古典码构造非二元量子稳定码，其中 $q$ 为素数幂？
• RQ2 基于 $\mathbb{F}_4$ 的二元稳定码构造方法应如何推广至更高维的量子系统？
• RQ3 迹函数及其关联内积的选择如何影响自正交性条件及最终码的参数？
• RQ4 能否利用已有的经典自正交码族来构造具有高最小距离的新非二元量子码？
• RQ5 在基于迹的内积下，$\mathbb{F}_{p^m}$-线性与自正交性之间在量子码构造中的关系为何？

主要发现

• 本文利用基于迹的内积，从 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上维度为 $r$ 的经典自正交码 $C$ 构造出 $[[n, mn - r]]_q$ 的非二元量子稳定码，其中 $q = p^m$。
• 所得量子码的最小距离为 $d = \min\{\mathop{wt}({\bf v}) \mid {\bf v} \in C^\perp \setminus C\}$，其依赖于对偶码的权重分布。
• 从已知的自正交经典码中导出了显式量子码，包括 $[[q^r, q^r - (r+2), 3]]_q$、$[[q^2+1, q^2 - 3, 3]]_q$ 等 $d=3$ 的码。
• 该方法确保在基于迹的内积下满足自正交性的 $\mathbb{F}_{p^m}$-线性码可生成有效的量子码，且此类码预计优于一般的 $\mathbb{F}_p$-线性码。
• 该框架将 Bierbrauer 和 Edel 的经典自正交码与非二元量子稳定码直接关联，使他们的构造可立即应用于新量子码的生成。
• 该框架推广了二元情形（$q=2$），并提供了一种使用域论辛形式的统一方法来构造非二元量子稳定码。