[论文解读] Noncausal FIR Zames-Falb Multiplier Search for Exponential Convergence Rate

Jingfan Zhang, Peter Seiler+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2019

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文将非因果有限冲激响应（FIR）Zames-Falb乘子的搜索范围扩展至估计Lur’e系统中的指数收敛速率，表明非因果乘子相较于因果或反因果乘子可获得更宽松的稳定性边界。通过变量变换，建立了时域IQCP与频域ρ-IQCP框架之间的等价性，并提出了一种适用于因果、反因果和非因果乘子的统一因子分解方法，通过数值示例验证了该方法可获得更优的收敛速率估计。

ABSTRACT

In the existing literature, there are two approaches to estimate tighter bounds of the exponential convergence rate of stable Lure systems. On one hand, the classical integral quadratic constraint (IQC) framework can be applied under loop-transformation, so the stability of the new loop implies the convergence of the original loop. On the other hand, it is possible to modify the IQC framework, the so-called rho-IQC framework, in such a way that the convergence rate is directly obtained over the original loop. In this technical note, we extend the literature results from the search for a causal finite impulse response (FIR) Zames-Falb multiplier to the noncausal case. We show that the multipliers by the two approaches are equivalent by a change of variable. However, the factorisation of the Zames-Falb rho-IQC is restricted compared to the Zames-Falb IQC, so an unified factorisation is proposed. Finally, numerical examples illustrate that noncausal multipliers lead to less-conservative results.

研究动机与目标

• 将非因果FIR Zames-Falb乘子的应用从因果情形扩展至更紧致的Lur’e系统指数收敛速率估计。
• 通过变量变换，建立在使用非因果乘子时，时域IQCP与频域ρ-IQCP框架之间的等价性。
• 提出一种适用于因果、反因果和非因果FIR Zames-Falb乘子的统一因子分解结构，适用于IQCP与ρ-IQCP框架。
• 通过数值验证，表明非因果乘子相较于因果和反因果方法可获得更宽松的收敛速率边界。

提出的方法

• 将经典的Zames-Falb乘子框架扩展至非因果FIR形式，以实现更紧致的指数收敛速率分析。
• 通过变量变换，证明在非因果乘子下，时域Zames-Falb IQCP与频域ρ-IQCP框架具有等价性。
• 提出一种基于提升的统一因子分解方法，适用于IQCP与ρ-IQCP框架下的因果、反因果和非因果FIR Zames-Falb乘子。
• 利用Kalman-Yakubovich-Popov（KYP）引理，将频域条件转化为可计算的线性矩阵不等式（LMI）。
• 通过不同系统不确定性与最大斜率的数值示例，比较各类乘子在收敛速率估计上的表现。
• 采用基于MATLAB的数值计算，通过谨慎处理非因果矩阵结构，避免数值不稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 与因果和反因果乘子相比，非因果FIR Zames-Falb乘子是否能提供更宽松的Lur’e系统指数收敛速率估计？
• RQ2 在使用非因果乘子时，时域Zames-Falb IQCP与频域ρ-IQCP框架是否等价？
• RQ3 何种统一的因子分解结构可实现因果、反因果和非因果FIR Zames-Falb乘子在IQCP与ρ-IQCP框架中的一致性分析？
• RQ4 对于具有奇数非线性与一般非线性的系统，不同乘子类型（因果、反因果、非因果）在收敛速率估计上的表现如何？
• RQ5 数值挑战对非因果乘子在基于MATLAB的LMI求解器中实际实现的影响是什么？

主要发现

• 非因果FIR Zames-Falb乘子相较于因果和反因果乘子，可提供更宽松的收敛速率估计，尤其在系统接近不稳定时表现更优。
• 通过变量变换，时域Zames-Falb IQCP与频域ρ-IQCP框架在非因果乘子下等价，其中(2)式中的M(z)与(3)式中的M(ρz)可互换使用。
• 提出一种基于提升的统一因子分解方法，适用于IQCP与ρ-IQCP框架下的因果、反因果和非因果FIR Zames-Falb乘子，解决了现有因子分解中的结构限制。
• 对于违反Kalman猜想的系统（如示例4），非因果乘子优于反因果乘子，例如在K=12时反因果乘子失效，而非因果乘子仍保持有效。
• M(z)与M(ρ,z)的计算结果几乎完全一致，证实了其等价性，尽管M(ρ,z)因矩阵规模更大而计算成本更高。
• 对于奇数非线性系统，最优收敛速率不会超过一般非线性系统，反映出后者在ℓ₁-范数约束下更为严格。