[论文解读] Nonclassical Solutions of Fully Nonlinear Elliptic Equations II. Hessian Equations and Octonions

Nikolaï Nadirashvili, Serge Vladuts|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文利用八元数立方形式 $ P_{24}(x) = \operatorname{Re}((o_1 \cdot o_2) \cdot o_3) $，其中 $ o_i \in \mathcal{O} $ 为八元数，在 21 维空间中构造了完全非线性椭圆 Hessian 方程与 Isaacs 方程的非经典粘性解。函数 $ w_\delta(x) = P_{24}(x)/|x|^\delta $ 在 $ 1 \leq \delta < 2 $ 时被证明是 $ \mathbb{R}^{21} $ 中的粘性解，展示了此类方程的 $ C^{1,\alpha} $ 正则性界限的最优性。

ABSTRACT

We use the octonion algebra to construct singular solutions of Hessian fully nonlinear uniformly elliptic equations in 21 or more dimensions. The regularity of these solutions is the least possible one. The same is proven for Isaacs equtions.

研究动机与目标

• 证明在经典正则性临界阈值以下的维度中，完全非线性椭圆方程存在非经典粘性解。
• 将从四元数（12D）构造奇异性解的方法扩展至八元数（24D），并限制在 21D 子空间中。
• 证明八元数立方形式 $ P_{24}(x) = \operatorname{Re}((o_1 \cdot o_2) \cdot o_3) $ 生成具有最优正则性 $ C^{2-\varepsilon} $ 的解，违反经典光滑性。
• 建立同一函数同时满足 Hessian 方程与 Isaacs 型方程，证明已知正则性结果的最优性。

提出的方法

• 使用八元数立方形式 $ P_{24}(x) = \operatorname{Re}((o_1 \cdot o_2) \cdot o_3) $，其中 $ o_i \in \mathcal{O} $，在 $ \mathbb{R}^{24} $ 中定义一个齐次函数 $ w_\delta(x) = P_{24}(x)/|x|^\delta $，其次数为 $ 3 - \delta $。
• 将 $ w_\delta $ 限制在 $ \mathbb{R}^{24} $ 的一个 21 维子空间 $ H' \subset \mathbb{R}^{24} $ 上，此时函数在一致椭圆方程下仍为粘性解。
• 分析 Hessian 矩阵 $ D^2 w_\delta $，表明其为次数 $ 1 - \delta $ 的齐次函数，并研究从单位球面到有序特征值的特征值映射 $ \Lambda $。
• 应用对称群 $ \Sigma_{21} $ 的群论与对称性论证，控制特征值在置换下的行为。
• 使用 Isaacs 方程结构 $ F(D^2 u) = \sup_b \inf_a L_{ab} u = 0 $，其中 $ L_{ab} $ 为具有椭圆常数 $ C $ 的一致椭圆算子。
• 通过引理 5.1 证明：若对任意 $ x, y \in B \setminus \{0\} $，存在一个矩阵 $ A \in K_C $，其正交于 $ D^2 w_\delta(x) $ 与 $ D^2 w_\delta(y) $，则 $ w_\delta $ 是 Isaacs 方程的粘性解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在低于 24 维的维度中，完全非线性一致椭圆 Hessian 方程是否可能存在非经典粘性解？
• RQ2 八元数立方形式 $ P_{24}(x) = \operatorname{Re}((o_1 \cdot o_2) \cdot o_3) $ 是否在 21 维空间中生成 Hessian 方程的奇异性解？
• RQ3 同一函数 $ w_\delta(x) = P_{24}(x)/|x|^\delta $ 是否为 21D 中一致椭圆 Isaacs 方程的粘性解？
• RQ4 完全非线性椭圆方程粘性解的正则性界限的最优阈值是什么？能否通过构造奇异性解使其被超越？
• RQ5 线性组合的 Hessian 矩阵的严格双曲性是否可用于构造一个共同正交的正定矩阵，从而满足 Isaacs 解的条件？

主要发现

• 函数 $ w_\delta(x) = P_{24}(x)/|x|^\delta $ 在任意 21 维子空间 $ H' \subset \mathbb{R}^{24} $ 上限制后，对任意 $ \delta \in [1, 2) $，均为单位球 $ B \subset \mathbb{R}^{21} $ 中一致椭圆 Hessian 方程的粘性解。
• 解 $ w_\delta $ 属于 $ C^{2 - \varepsilon} $ 类，其中 $ \varepsilon > 0 $ 足够小，表明 $ C^{1,\alpha} $ 正则性界限是最优的，一般情况下无法改进。
• 同一函数 $ w_\delta $ 也是形如 $ \sup_b \inf_a L_{ab} u = 0 $ 的一致椭圆 Isaacs 方程的粘性解，其中 $ L_{ab} $ 为一致椭圆算子。
• 证明依赖于：对任意 $ x, y \in \mathbb{R}^{21} \setminus \{0\} $，存在矩阵 $ A \in K_C $，其正交于 $ D^2 w_\delta(x) $ 与 $ D^2 w_\delta(y) $，且满足 $ \operatorname{Tr}(A D^2 w_\delta(x)) = \operatorname{Tr}(A D^2 w_\delta(y)) = 0 $，这蕴含了 Isaacs 条件。
• 对所有 $ (\alpha, \beta) \neq (0,0) $，$ \alpha D^2 w_\delta(x) + \beta D^2 w_\delta(y) $ 的严格双曲性确保存在一个正定矩阵 $ Q \in K_C $，其正交于两个 Hessian 矩阵，从而可应用引理 5.2。
• 该构造通过展示对任意 $ \alpha > 0 $，解均非 $ C^{1,\alpha} $，证明了 Caffarelli-Trudinger 的 $ C^{1,\alpha} $ 正则性结果在 Hessian 情况下亦为最优。