[论文解读] Noncolliding Squared Bessel Processes and Weierstrass Canonical Products for Entire Functions

Makoto Katori, Hideki Tanemura|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2010

Random Matrices and Applications被引用 1

一句话总结

本文研究索引 $ u > -1 $ 的非碰撞平方 Bessel 过程，证明对于有限粒子系统，该过程是确定性点过程，具有连续的相关核。对于无限系统，通过一个以 Weierstrass 标准乘积形式表示的整函数，建立了该过程为确定性点过程的条件，其零点与初始粒子位置一致；一个关键例子表明，该过程收敛至具有扩展 Bessel 核的平稳状态。

ABSTRACT

We consider a particle system of the squared Bessel processes with index $ u > -1$ conditioned never to collide with each other, in which if $-1 < u < 0$ the origin is assumed to be reflecting. When the number of particles is finite, we prove for any fixed initial configuration that this noncolliding diffusion process is determinantal in the sense that any multitime correlation function is given by a determinant with a continuous kernel called the correlation kernel. When the number of particles is infinite, we give sufficient conditions for initial configurations so that the system is well defined. There the process with an infinite number of particles is determinantal and the correlation kernel is expressed using an entire function represented by the Weierstrass canonical product, whose zeros on the positive part of the real axis are given by the particle-positions in the initial configuration. From the class of infinite-particle initial configurations satisfying our conditions, we report one example in detail, which is a fixed configuration such that every point of the square of positive zero of the Bessel function $J_{ u}$ is occupied by one particle. The process starting from this initial configuration shows a relaxation phenomenon converging to the stationary process, which is determinantal with the extended Bessel kernel, in the long-term limit.

研究动机与目标

• 建立索引 $ u > -1 $ 的非碰撞平方 Bessel 过程的存在性及其确定性结构，包括在反射原点情形下 $ -1 < u < 0 $ 的情况。
• 推导无限初始粒子构型的充分条件，以保证非碰撞扩散过程的明确定义。
• 以 Weierstrass 标准乘积形式的整函数表达无限粒子系统的相关核，其零点对应初始粒子位置。
• 分析从特定初始构型出发的长期行为——即 Bessel 函数 $ J_u $ 的正零点的平方——并证明其收敛至平稳状态。

提出的方法

• 利用确定性点过程理论，通过连续相关核刻画有限粒子系统的多时间相关函数。
• 通过 Weierstrass 标准乘积构造一个整函数，其在正实轴上的零点代表无限系统中初始粒子的位置。
• 应用谱论与核分析，证明在初始构型满足适当衰减与分离条件时，无限粒子过程为确定性点过程。
• 通过相关核的渐近分析，推导出扩展 Bessel 核作为长时间极限下的极限相关核。

实验结果

研究问题

• RQ1 当粒子数为无限时，初始构型需满足何种条件，才能保证索引 $ u > -1 $ 的非碰撞平方 Bessel 过程扩散过程存在？
• RQ2 如何用具有指定零点的整函数表达无限粒子非碰撞系统的相关核？
• RQ3 当初始构型为 $ J_u $ 的正零点的平方时，该过程的长期行为如何？是否收敛至平稳的确定性点过程？
• RQ4 在无限时间极限下，极限相关核的结构是什么？它与已知特殊函数有何关联？

主要发现

• 对于任意固定的有限初始构型，索引 $ u > -1 $ 的非碰撞平方 Bessel 过程是确定性点过程，其多时间相关函数由连续相关核的行列式给出。
• 当粒子数为无限时，若初始构型满足一定的衰减与分离条件，则该过程是良好定义的，确保 Weierstrass 乘积表示的收敛性。
• 无限粒子系统的相关核通过一个作为 Weierstrass 标准乘积构造的整函数表达，其零点为正实轴上的初始粒子位置。
• 对于由 $ J_u $ 的正零点的平方构成的特定初始构型，该过程表现出松弛现象，并依分布收敛至具有扩展 Bessel 核的平稳确定性点过程。