[论文解读] Noncommutative Ergodic Theorems

Anders Karlsson, François Ledrappier|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 20

一句话总结

本文建立了在完备度量空间上等距同胚乘积的非交换遍历定理，表明在可积位移条件下，典型轨迹要么表现出次线性扩散，要么收敛于度量紧化中的随机测地线射线。关键贡献是将经典Birkhoff与Kingman遍历定理推广至非交换设置，其应用涵盖群上的随机游走及黎曼覆叠上的布朗运动。

ABSTRACT

We present recent results about the asymptotic behavior of ergodic products of isometries of a metric space X. If we assume that the displacement is integrable, then either there is a sublinear diffusion or there is, for almost every trajectory in X, a preferred direction at the boundary. We discuss the precise statement when X is a proper metric space and compare it with classical ergodic theorems. Applications are given to ergodic theorems for nonintegrable functions, random walks on groups and Brownian motion on covering manifolds.

研究动机与目标

• 将经典遍历定理推广至涉及度量空间上等距同胚乘积的非交换设置。
• 建立随机等距同胚轨迹在度量紧化中收敛至优选方向的条件。
• 将有限体积黎曼覆叠的Liouville性质与布朗运动及随机游走的逃逸速率联系起来。
• 通过离散化方法，将连续时间扩散过程（布朗运动）的结果推广至离散时间随机游走。
• 证明在局部紧致群上配备完备度量时，若满足Liouville性质，则随机游走的线性漂移完全由一个特征标决定。

提出的方法

• 利用完备度量空间的度量紧化，为轨迹定义‘无穷远处方向’的概念。
• 对随机等距同胚下的位移函数序列应用次可加遍历定理（Kingman）。
• 利用Furstenberg-Lyons-Sullivan离散化方法，将黎曼覆叠上的布朗运动与基本群上的随机游走联系起来。
• 在群Γ上构造一个对称概率测度ν，使得覆叠上的有界调和函数对应于Γ上的调和函数。
• 利用ν的一阶矩存在性及群度量的完备性，确保随机游走线性漂移的收敛性。
• 证明布朗运动的逃逸速率几乎必然为零，当且仅当其对应的随机游走漂移为零，从而连接随机与几何性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，完备度量空间上随机等距同胚的乘积会在度量紧化中收敛至优选方向？
• RQ2 次可加遍历定理如何推广至涉及等距同胚的非交换设置？
• RQ3 有限体积黎曼覆叠的Liouville性质与该覆叠上布朗运动的渐近行为之间有何关系？
• RQ4 能否通过离散化方法，将有限体积黎曼覆叠上布朗运动的逃逸速率表征为基本群上的随机游走？
• RQ5 在何种情况下，满足Liouville性质的局部紧致群上随机游走的线性漂移完全由一个特征标决定？

主要发现

• 在完备度量空间中，若位移可积，则典型轨迹要么表现出次线性扩散，要么在度量紧化中收敛于随机测地线射线。
• 在CAT(0)空间中，射线逼近性质成立，轨迹与随机测地线射线的距离保持在O(1/n)以内。
• 当空间为Gromov双曲时，通过R上的不同度量，该定理可推出对非可积函数的遍历定理。
• 有限体积黎曼覆叠的Liouville性质等价于布朗运动线性漂移几乎必然为零。
• 通过离散化关联的随机游走具有第一矩，且其漂移为零当且仅当布朗运动的逃逸速率为零。
• 在非阿贝尔群情况下，覆叠非Liouville；而在幂零群情况下，覆叠为Liouville，该结果通过新框架得到验证，与已知结论一致。