[论文解读] Noncommutative free universal monodromy, pluriharmonic conjugates, and plurisubharmonicity

J. E. Pascoe|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文建立了自由全纯单值定理，证明在连通自由集上，非交换自由函数的解析开拓是全局良定义的，这意味着全纯调和函数具有全局共轭，局部可逆函数是全局可逆的，且解析开拓不会产生非平凡上同调。该工作通过证明一致实解析自由函数是拟凸的当且仅当其可唯一分解为一个凸函数与一个解析函数复合的实部，从而推广了Dym-Helton-Klep-McCullough-Volcic定理。

ABSTRACT

We show that the monodromy theorem holds on arbitrary connected free sets for noncommutative free analytic functions. Applications are numerous-- pluriharmonic free functions have globally defined pluriharmonic conjugates, locally invertible functions are globally invertible, and there is no nontrivial cohomology theory arising from analytic continuation on connected free sets. We describe why the Baker-Campbell-Hausdorff formula has finite radius of convergence in terms of monodromy, and solve a related problem of Martin-Shamovich. We generalize the Dym-Helton-Klep-McCullough-Volcic theorem-- a uniformly real analytic free noncommutative function is plurisubharmonic if and only if it can be written as a composition of a convex function with an analytic function. The decomposition is essentially unique. The result is first established locally, and then Free Universal Monodromy implies the global result. Moreover, we see that plurisubharmonicity is a geometric property-- a real analytic free function plurisubharmonic on a neighborhood is plurisubharmonic on the whole domain. We give an analytic Greene-Liouville theorem, an entire free plurisubharmonic function is a sum of hereditary and antihereditary squares.

研究动机与目标

• 在连通自由集上建立非交换自由解析函数的自由全息单值定理。
• 证明连通域上的全纯调和自由函数具有全局定义的全纯调和共轭。
• 证明局部可逆的自由函数是全局可逆的，从而消除了解析开拓带来的非平凡上同调。
• 通过建立一致实解析自由函数可唯一分解为凸函数与解析函数复合的实部，推广Dym-Helton-Klep-McCullough-Volcic定理。
• 证明拟凸性是一种几何性质——若一个实解析自由函数在某点的邻域内是拟凸的，则其在整个连通定义域上均为拟凸。

提出的方法

• 通过证明在连通自由集内任意路径上的解析开拓均可全局延拓，建立自由全息单值定理，利用自由集的结构与一致解析性。
• 利用Hankel矩阵和幂级数展开对自由函数进行仿射实现，以分析导数与共轭导数的行为。
• 通过涉及解析函数、共轭解析函数、压缩转移函数及正半定矩阵核的实现公式，构造拟凸函数的分解。
• 该方法依赖于引理3.3的局部表示，该引理以解析、共轭解析与压缩分量的形式，提供了自由拟凸函数的典范实现。
• 观察3.10将实现推广至矩阵放大，保持各级结构不变，从而通过单值性实现全局延拓。
• 通过证明任意两种此类表示在酉等价与“垃圾项”意义下等价，利用典范形式及酉共轭下的不变性，证明分解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由全息单值原理是否可推广至代数情形，如自由反函数定理？
• RQ2 在何种条件下，非奇异的自由非交换函数可定义对数或平方根？
• RQ3 自由非交换函数理论中的偏微分方程理论如何？特别是关于解的存在性与唯一性？
• RQ4 哪些幂级数系数的Hankel型矩阵具有几何正定性？是否存在此类正定性的普遍定理？
• RQ5 所有自由拟凸函数是否必然为实解析函数？还是可能存在非一致实解析的自由拟凸函数？

主要发现

• 自由全息单值定理在任意连通自由集上成立，确保自由函数的解析开拓是全局良定义的。
• 连通域上的全纯调和自由函数具有全局定义的全纯调和共轭，消除了局部障碍。
• 局部可逆的自由函数是全局可逆的，且在连通自由集上解析开拓不会产生非平凡上同调。
• 一致实解析自由函数是拟凸的，当且仅当其可唯一分解为一个凸函数与一个解析函数复合的实部。
• 拟凸性是几何性质：若一个实解析自由函数在某点的邻域内是拟凸的，则其在整个连通定义域上均为拟凸。
• 建立了全纯格林-刘维尔定理：每个整函数拟凸自由函数均可表示为遗传与反遗传平方之和。