[论文解读] Noncommutative geometry and compactifications of the moduli space of curves

Alastair Hamilton|ArXiv.org|Oct 25, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过一个两参数的微分分次李代数族，建立了科茨涅维奇的曲线模空间紧化空间同调的完整代数描述。通过在非交换0-形式空间上赋予源自曲线捏合的李双代数结构，作者对科茨涅维奇的非交换辛几何进行了变形，并证明该变形的Chevalley-Eilenberg同调恰好恢复了紧化模空间的同调。

ABSTRACT

In this paper we show that the homology of a certain natural compactification of the moduli space, introduced by Kontsevich in his study of Witten's conjectures, can be described completely algebraically as the homology of a certain differential graded Lie algebra. This two-parameter family is constructed by using a Lie cobracket on the space of noncommutative 0-forms, a structure which corresponds to pinching simple closed curves on a Riemann surface, to deform the noncommutative symplectic geometry described by Kontsevich in his subsequent papers.

研究动机与目标

• 为科茨涅维奇的曲线模空间紧化空间的同调提供一个代数表征。
• 通过在非交换0-形式上引入李双代数结构，扩展科茨涅维奇的非交换辛几何。
• 构造一个两参数的微分分次李代数族，作为原始非交换辛框架的变形。
• 证明该族的Chevalley-Eilenberg同调精确恢复了紧化模空间的同调。
• 通过代数不变量建立稳定带标记图复形与紧化模空间同调之间的对应关系。

提出的方法

• 利用非交换0-形式空间上的李余括号定义李双代数结构，以模拟黎曼曲面上简单闭曲线捏合的拓扑操作。
• 通过利用李双代数结构对原始非交换辛李代数进行变形，构造一个两参数的微分分次李代数族。
• 应用Chevalley-Eilenberg复形在ℚ上计算变形后微分分次李代数的同调。
• 建立紧化模空间同调与所构造的微分分次李代数族的稳定同调之间的典范同构。
• 利用与稳定带标记图相关的显式张量构造定义逆映射，并验证同调对应关系的双射性。
• 验证Chevalley-Eilenberg复形中的微分恰好对应于带标记图中的三种边收缩：来自变形代数上的李括号、0-形式上的李括号以及0-形式上的李余括号。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否完全通过代数结构描述科茨涅维奇的曲线模空间紧化空间的同调？
• RQ2 非交换0-形式上的李双代数结构如何编码紧化中曲线捏合的拓扑操作？
• RQ3 两参数变形在将科茨涅维奇的非交换辛几何推广至包含紧化模空间方面起到什么作用？
• RQ4 是否存在紧化模空间同调与变形微分分次李代数的Chevalley-Eilenberg同调之间的典范同构？
• RQ5 能否从变形李代数的不变量中代数地重构稳定带标记图复形？

主要发现

• 两参数微分分次李代数族的Chevalley-Eilenberg同调与科茨涅维奇的曲线模空间紧化空间的同调同构。
• 该同构通过一个典范映射实现，该映射将与稳定带标记图相关的张量映射到同调类，其逆映射通过李代数作用的余不变量显式构造。
• Chevalley-Eilenberg复形中的微分恰好对应于稳定带标记图复形中的三种边收缩：来自变形代数上的李括号、0-形式上的李括号以及0-形式上的李余括号。
• 紧化模空间同调与变形微分分次李代数同调之间的映射是Hopf代数之间的双射映射。
• 该构造提供了一种纯代数方法，通过变形李代数的Maurer-Cartan模空间中的指数映射，在紧化模空间上生成同调类。
• 变形参数γ和ν允许构造一个连续的紧化族，当参数设为零时，原始模空间及其Deligne-Mumford紧化作为特例出现。