[论文解读] Noncommutative Geometry Approach to Principal and Associated Bundles

Paul Baum, Piotr M. Hajac+2 more|ArXiv.org|Dec 31, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用 46

一句话总结

本文通过在C*-代数中以密度条件刻画自由且适当的群作用，并为纤维积引入分段平凡性，建立了主丛与关联丛的非交换几何框架。它证明了关联向量丛的截面模是余张量积，并计算了在Hopf纤维丛上狄拉克单极子的陈特征配对，结果与表示的负绕数一致。

ABSTRACT

We recast basic topological concepts underlying differential geometry using the language and tools of noncommutative geometry. This way we characterize principal (free and proper) actions by a density condition in (multiplier) C*-algebras. We introduce the concept of piecewise triviality to adapt the standard notion of local triviality to fibre products of C*-algebras. In the context of principal actions, we study in detail an example of a non-proper free action with continuous translation map, and examples of compact principal bundles which are piecewise trivial but not locally trivial, and neither piecewise trivial nor locally trivial, respectively. We show that the module of continuous sections of a vector bundle associated to a compact principal bundle is a cotensor product of the algebra of functions defined on the total space (that are continuous along the base and polynomial along the fibres) with the vector space of the representation. On the algebraic side, we review the formalism of connections for the universal differential algebras. In the differential geometry framework, we consider smooth connections on principal bundles as equivariant splittings of the cotangent bundle, as 1-form-valued derivations of the algebra of smooth functions on the structure group, and as axiomatically given covariant differentiations of functions defined on the total space. Finally, we use the Dirac monopole connection to compute the pairing of the line bundles associated to the Hopf fibration with the cyclic cocycle of integration over S^2.

研究动机与目标

• 通过将主丛与关联丛重新表述为C*-代数，弥合经典微分几何与非交换几何之间的鸿沟。
• 通过在乘子C*-代数中的密度条件定义主作用，推广经典自由且适当的群作用概念。
• 在C*-代数纤维积的语境中，引入分段平凡性作为局部平凡性的替代。
• 将与主丛关联的向量丛的连续或光滑截面模代数地表征为余代数上的余张量积。
• 计算与Hopf纤维丛相关的线丛和S²上积分的循环上循环的配对，将其与表示的绕数联系起来。

提出的方法

• 使用普遍微分演算与代数，形式化非交换设定下主丛与向量丛上的联络。
• 采用Serre-Swan定理与Peter-Weyl理论，将有限生成投影模与紧致空间上的向量丛联系起来。
• 通过C*-代数乘子代数中的密度条件定义主作用，推广拓扑上自由且适当的群作用概念。
• 引入分段平凡性作为C*-代数纤维积的局部平凡性的推广。
• 将联络构造为余切丛的等变分裂，以及结构群上光滑函数代数上的1-形式值导子。
• 利用Hopf纤维丛上的狄拉克单极子联络，计算其与S²上积分的循环上循环的陈特征配对。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何纯粹以C*-代数语言刻画局部紧致Hausdorff空间上自由且适当的群作用？
• RQ2 C*-代数纤维积的非交换局部平凡性对应物是什么？它与经典局部平凡性有何关系？
• RQ3 在非交换设定下，如何代数地描述与主丛关联的向量丛的截面模？
• RQ4 在非交换框架中，关联向量丛的陈特征与循环上同调配对之间存在何种关系？
• RQ5 Hopf纤维丛上的狄拉克单极子联络如何产生一个与表示绕数匹配的拓扑不变量？

主要发现

• 与紧致主丛关联的向量丛的连续截面模，同构于总空间上连续（沿基空间）且多项式（沿纤维）的函数代数与表示空间的余张量积。
• 本文构造了一个非正规自由作用的例子，其平移映射连续，表明正规性对标准平凡性质至关重要。
• 展示了某些紧致主丛是分段平凡但非局部平凡的，也存在既非分段也非局部平凡的丛，证明了这些概念的独立性。
• 与Hopf纤维丛相关的线丛和S²上积分的循环上循环的陈特征配对结果为表示绕数的相反数，证实了其拓扑不变性。
• Hopf纤维丛上的联络形式ω诱导的协变导数与由幂等投影算子p_{-1}定义的Graßmann联络一致，验证了非交换形式系统的自洽性。