[论文解读] Noncommutative localization and chain complexes I. Algebraic K- and L-theory

Amnon Neeman, Andrew Ranicki|ArXiv.org|Sep 18, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 26

一句话总结

本文在代数K-理论与L-理论中，为非交换局部化建立了一个三角范畴框架，证明了当且仅当对所有 $ i \geq 1 $ 有 $ \operatorname{Tor}^R_i(\sigma^{-1}R, \sigma^{-1}R) = 0 $ 时，有限生成投射模的有界链复形在非交换局部化 $\sigma^{-1}R$ 上可上拉至 $R$ 上的复形，从而将经典局部化正合序列推广至非交换情形。

ABSTRACT

The noncommutative (Cohn) localization S^{-1}R of a ring R is defined for any collection S of morphisms of f.g. projective left R-modules. We exhibit S^{-1}R as the endomorphism ring of R in an appropriate triangulated category. We use this expression to prove that if S^{-1}R is "stably flat over R" (meaning that Tor^R_i(S^{-1}R,S^{-1}R)=0 for i>0) then every bounded f.g. projective S^{-1}R-module chain complex D with [D] \in im(K_0(R)-->K_0(S^{-1}R)) is chain equivalent to S^{-1}C for a bounded f.g. projective R-module chain complex C, and that there is a localization exact sequence in higher algebraic K-theory >... --> K_n(R) --> K_n(S^{-1}R) --> K_n(R,S) --> K_{n-1}(R) --> ..., extending to the left the sequence obtained for n<2 by Schofield. For a noncommutative localization S^{-1}R of a ring with involution R there are analogous results for algebraic L-theory, extending the results of Vogel from quadratic to symmetric L-theory.

研究动机与目标

• 将代数K-与L-理论中的经典局部化正合序列推广至环的非交换局部化情形。
• 解决链复形上拉问题：何时一个有限生成投射 $\sigma^{-1}R$-模的有界复形同伦等价于某个 $R$ 上复形 $C$ 的 $\sigma^{-1}C$？
• 刻画局部化函子在完美复形层面上诱导等价的条件。
• 利用三角范畴技术，将Vogel关于对称 $L$-理论的结果推广至非交换情形。
• 证明在局部化为单射时，局部化序列中的相对 $K$-与 $L$-群同构于扭 $L$-群。

提出的方法

• 在适当的链复形三角范畴中，将非交换局部化 $\sigma^{-1}R$ 表示为 $R$ 的自同态环。
• 在三角范畴中使用Bousfield局部化来构造局部化函子，并分析其同调性质。
• 定义 $\sigma$-无瑕复形的全子范畴 $D(R,\sigma)$，并研究商范畴 $D(R)/D(R,\sigma)$。
• 构造函子 $T: (D(R)/D(R,\sigma))^c \to D^c(\sigma^{-1}R)$，并证明其为等价当且仅当对所有 $i \geq 1 $ 有 $\operatorname{Tor}^R_i(\sigma^{-1}R, \sigma^{-1}R) = 0$。
• 应用Waldhausen的逼近与局部化定理，将 $R$、$\sigma^{-1}R$ 与相对 $K$-群 $K_n(R,\sigma)$ 的 $K$-群联系起来。
• 利用涉及 $\operatorname{Tor}^R_1(T,T)$ 的典范三角形，分析 $\epsilon$-对称与 $\epsilon$-二次扭 $L$-群，并将其识别为相对 $L$-群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，每个有限生成投射 $\sigma^{-1}R$-模的有界复形都同伦等价于某个有限生成投射 $R$-模的有界复形 $C$ 的 $\sigma^{-1}C$？
• RQ2 局部化函子 $T$ 何时在 $R$ 与 $\sigma^{-1}R$ 的完美复形三角范畴之间诱导等价？
• RQ3 在非交换情形下，相对 $K$-群 $K_n(R,\sigma)$ 与 $R$ 和 $\sigma^{-1}R$ 的 $K$-群之间的确切关系为何？
• RQ4 如何用扭形式与相对 $L$-群来描述非交换局部化的 $L$-理论？
• RQ5 $\operatorname{Tor}^R_i(\sigma^{-1}R, \sigma^{-1}R)$ 在决定高阶 $K$-与 $L$-理论中局部化正合序列有效性方面起什么作用？

主要发现

• 局部化函子 $T: (D(R)/D(R,\sigma))^c \to D^c(\sigma^{-1}R)$ 是等价当且仅当对所有 $i \geq 1$ 有 $\operatorname{Tor}^R_i(\sigma^{-1}R, \sigma^{-1}R) = 0$，这刻画了复形的上拉性质。
• 存在高阶代数 $K$-理论的局部化正合序列：$\dots \to K_n(R) \to K_n(\sigma^{-1}R) \to K_n(R,\sigma) \to K_{n-1}(R) \to \dots$，将Schofield的结果推广至 $n \geq 2$。
• 相对 $K$-群 $K_n(R,\sigma)$ 同构于 $\sigma$-无瑕复形范畴的 $K_n$-群，且 $K_0$-同构成立当且仅当 $R$ 的 $K_0$-像在 $K_0(\sigma^{-1}R)$ 上是满射。
• 对于具有对合的非交换局部化 $R \to \sigma^{-1}R$，相对 $L$-群 $L_n(R,\sigma,\epsilon)$ 同构于扭 $L$-群 $L^\text{tor}_n(R,\sigma,\epsilon)$，将Vogel的结果推广至对称 $L$-理论。
• $\epsilon$-二次扭 $L$-群具有4周期性：$L^\text{tor}_n(R,\sigma,\epsilon) \cong L^\text{tor}_{n+4}(R,\sigma,\epsilon)$，且局部化序列中的相对 $L$-群恰好是这些扭群。
• 当 $R \to \sigma^{-1}R$ 为单射时，局部化正合序列中的相对 $L$-群同构于扭 $L$-群 $L^\text{tor}_n(R,\sigma,\epsilon)$，从而在非交换情形下证实了Vogel的猜想。