[论文解读] Noncommutative multi-parameter Wiener-Wintner type ergodic theorem

Guixiang Hong, Mu Sun|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文建立了非交换迹保持动力系统中Wiener-Wintner遍历定理的非交换多参数推广。引入了一个严格大于有界Besicovitch类的权函数类 $\mathcal{D}$，并利用非交换极大不等式和Orlicz空间的原子分解，证明了该类上的个体与一致遍历收敛性。

ABSTRACT

In this paper, we establish a multi-parameter version of Bellow and Losert's Wiener-Wintner type ergodic theorem for dynamical systems not necessarily being commutative. More precisely, we introduce a weight class $\mathcal{D}$, which is shown to strictly include the multi-parameter bounded Besicovitch weight class, thus including the set $$Λ_d=\left\{\{λ^{k_1}_1\dotsmλ^{k_d}_d\}_{(k_1,\dots,k_d)\in \mathbb{N}^d}:\quad (λ_1,\dots,λ_d) \in \mathbb{T}^d ight\};$$ then prove a multi-parameter Bellow and Losert's Wiener-Wintner type ergodic theorem for the class $\mathcal{D}$ and for noncommutative trace preserving dynamical system $(\mathcal{M},τ,\mathbf{T})$. Restricted to consider the set $Λ_d$, we also prove a noncommutative multi-parameter analogue of Bourgain's uniform Wiener-Wintner ergodic theorem. The noncommutativity and the multi-parameter induce some difficulties in the proof. For instance, our arguments in proving the uniform convergence for a dense subset turn out to be quite different since the "pointwise" argument does not work in the noncommutative setting; to obtain the uniform convergence in the largest spaces, we show maximal inequality between the Orlicz spaces, which can not be deduced easily using classical extrapolation argument. Junge and Xu's noncommutative maximal inequalities with optimal order, together with the atomic decomposition of Orlicz spaces, play an essential role in overcoming the second difficulty.

研究动机与目标

• 将经典的Wiener-Wintner遍历定理推广至非交换多参数动力系统。
• 定义并分析一个新的权函数类 $\mathcal{D}$，其严格包含有界Besicovitch类。
• 在非交换 $L_p$-空间中，证明类 $\mathcal{D}$ 的个体与一致遍历收敛性。
• 克服非交换性与多参数结构在遍历收敛性证明中引发的挑战。
• 建立Bourgain一致Wiener-Wintner定理在集合 $\Lambda_d$ 上的非交换类比。

提出的方法

• 通过谱测度与相关函数引入权函数类 $\mathcal{D}$，推广有界Besicovitch类。
• 利用Junge与Xu所得最优阶数的非交换极大不等式，控制Orlicz空间中的上确界。
• 应用Orlicz空间的原子分解，以处理在尽可能大的函数空间中的收敛性。
• 通过非交换极大函数估计在稠密子集上建立一致收敛性，避免点态论证。
• 证明对于 $a \in \mathcal{D}$，加权遍历平均 $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} a(k) T^k(x)$ 在非交换 $L_p$-空间中的收敛性。
• 利用谱测度与Bohr-Fourier级数技术，通过离散谱测度与绝对收敛Fourier级数刻画 $\mathcal{D}$ 中的序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 Wiener-Wintner遍历定理能否推广至非交换多参数动力系统？
• RQ2 在非交换 $L_p$-空间中，个体遍历收敛性成立的最大权函数类是什么？
• RQ3 在点态论证失效的非交换设定下，如何建立一致收敛性？
• RQ4 非交换极大不等式与Orlicz空间技术在推广Wiener-Wintner定理中起什么作用？
• RQ5 是否存在多参数系统下Bourgain一致Wiener-Wintner定理的非交换类比？

主要发现

• 权函数类 $\mathcal{D}$ 严格大于有界Besicovitch类，通过反例 $a(\mathbf{k}) = (-1)^{[\log(k_1+\cdots+k_d+1)]}$ 得到验证。
• 对于任意 $f \in L_p(\mathcal{M}, \tau)$，$1 \leq p \leq \infty$，加权遍历平均 $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n a(k) T^k(f)$ 对所有 $a \in \mathcal{D}$ 在 $L_p$-范数下收敛。
• 在非交换 $L_p$-设定中，对 $a \in \mathcal{D}$ 成立一致收敛性，通过Orlicz空间中的极大不等式实现。
• 类 $\mathcal{D}$ 中序列的谱测度 $\sigma_\mathbf{a}$ 为离散测度，其支撑在 $\mathbb{T}^d$ 上，形式为 $\sigma_\mathbf{a} = \sum_{\alpha=1}^\infty C_\alpha \delta_{\mathbf{z}_\alpha}$，且 $\sum C_\alpha < \infty$。
• 振幅 $\Gamma_\mathbf{a}(\mathbf{z}) = \lim_n \frac{1}{|\mathbf{n}+1|} \sum_{\mathbf{k}=0}^{\mathbf{n}} a(\mathbf{k}) \bar{\mathbf{z}}^{\mathbf{k}}$ 存在，且满足 $|\Gamma_\mathbf{a}(\mathbf{z})|^2 = \sigma_\mathbf{a}(\{\mathbf{z}\})$。
• 类 $\mathcal{D}$ 由谱测度、相关函数与振幅的条件刻画，当且仅当 $\mathbf{a} \in \mathcal{D}$ 时，有 $\gamma_\mathbf{a}(\mathbf{m}) = \sum_{\alpha=1}^\infty C_\alpha \mathbf{z}_\alpha^{\mathbf{m}}$ 且 $\sum C_\alpha < \infty$。