[论文解读] Noncommutative Quantum Mechanics on a Curved Space

Masayoshi Nakamura|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文利用投影算符法（POM）和狄拉克括号正则化方法，在高维欧几里得空间中嵌入的弯曲子流形上构建了非对易量子力学的框架。该研究系统地推导出具有导数型约束的非对易系统的正则结构，导出了包含一阶 ℏ 和非对易参数修正的对易代数，揭示了由弯曲几何诱导的非平凡非对易性。

ABSTRACT

Starting with the first-order singular Lagrangian, the canonical structures of the noncommutative quantum system on a submanifold embedded in the higher-dimensional Euclidean space are investigated with the projection operator method (POM) and the Dirac-bracket formulation in the case of the derivative-type constraint. Using the successive projection procedure and the iterativity of the Dirac bracket, the noncommutative quantum system is constructed in the form including all orders of the noncommutativity-parameters. When the noncommutative quantum system is constrained to a curved space, the commutator algebra of the system is presented within the 1st-order approximation with respect to Dirac-const. and the noncommutativity-parameters.

研究动机与目标

• 将非对易量子力学推广至嵌入在高维欧几里得空间中的弯曲子流形上的系统。
• 利用约束哈密顿形式理论，解析具有导数型约束的非对易系统的正则结构。
• 在ℏ和非对易参数的一阶近似下，推导系统的对易代数与哈密顿量。
• 研究曲率与非对易性如何共同改变量子代数与动力学行为。

提出的方法

• 构建一个一阶奇异拉格朗日量，其动力学约束涉及约束函数 G(x) 及其时间导数。
• 应用投影算符法（POM）将无约束系统系统地投影到约束曲面上，同时保持非对易结构。
• 采用狄拉克括号形式理论推导一致的量子代数，通过约束泊松括号矩阵 W 的逆来引入约束。
• 引入反对称矩阵 Θ 和 Ξ 以描述坐标与动量的非对易性，其中 G = ΘΞ 定义了非对易性结构。
• 采用迭代狄拉克括号程序，构建所有阶次非对易参数下的量子代数。
• 在ℏ和非对易参数的一阶近似下，推导出最终的对易代数与哈密顿量。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过导数型约束，非对易性如何在受限于弯曲子流形的量子系统中产生？
• RQ2 包含量子修正的弯曲空间上非对易量子力学的对易代数结构是什么？
• RQ3 投影算符法（POM）与狄拉克括号形式理论如何在非对易性与曲率共存时共同保持一致性？
• RQ4 矩阵 Θ、Ξ 和 G = ΘΞ 在塑造弯曲流形上的非对易动力学中起什么作用？
• RQ5 在存在非对易性的情况下，狄拉克括号正则化过程中系统的哈密顿量如何变换？

主要发现

• 弯曲空间上非对易量子系统的对易代数包含 ℏ 和非对易参数的一阶修正，且由于约束函数 G(x) 的存在而产生非平凡修正。
• 狄拉克括号代数表明 [x^i, x^j]_DB = Θ^*_{ij}，表明坐标非对易性由约束结构所诱导。
• 动量-动量对易子 [v_i, v_j]_DB = Ξ^*_{ij} 表明动量非对易性得以保持，并受几何结构调制。
• 代数中包含非平凡项如 [x^i, p^x_j]_DB = (I - ½G^*)_{ij} - λΘ^*_{ik}G_{kj}(x)，显示非对易性与拉格朗日乘子 λ 的耦合。
• 哈密顿量因非对易性而包含量子修正，其包含 G_{ij}^*、(GΘ)^* 以及 {G_{ik}(x), G_{jl}(x)} 项，出现在 p^x-p^x 对易子中。
• 通过 POM 与狄拉克括号实现的系统动力学被一致地正则化，得到一个闭合代数，其中包含了所有一阶量子与非对易性修正。