[论文解读] Noncommutative Quantum Mechanics with Path Integral

Бранко Драгович, Montenegro Zoran Rakic|ArXiv.org|Jan 28, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文为具有对称位置-动量非对易性的非交换量子力学（NCQM）发展了一种路径积分形式化方法，通过线性变换将非对易相空间映射到标准对易相空间。推导了二次拉格朗日量的费曼路径积分显式表达式，并将该形式化方法应用于非对易平面上受恒定电场和磁场作用的带电粒子，得到修正的朗道能级谱，其频率依赖于非对易性参数和磁场强度。

ABSTRACT

We consider classical and quantum mechanics related to an additional noncommutativity, symmetric in position and momentum coordinates. We show that such mechanical system can be transformed to the corresponding one which allows employment of the usual formalism. In particular, we found explicit connections between quadratic Hamiltonians and Lagrangians, in their commutative and noncommutative regimes. In the quantum case we give general procedure how to compute Feynman's path integral in this noncommutative phase space with quadratic Lagrangians (Hamiltonians). This approach is applied to a charged particle in the noncommutative plane exposed to constant homogeneous electric and magnetic fields.

研究动机与目标

• 发展一种系统化的路径积分方法，用于具有对称位置-动量非对易性的非交换量子力学。
• 通过线性变换，建立对易与非对易二次哈密顿量和拉格朗日量之间的显式联系。
• 在非对易相空间中，对精确可解系统计算费曼路径积分。
• 分析非对易平面上受恒定均匀电场和磁场作用的带电粒子的动力学。
• 推导能级谱，并展示其对非对易性参数 θ 和 σ 的依赖性。

提出的方法

• 通过规范变量 q̂_a 和 k̂_a 的线性变换，将非对易代数 [x̂_a, x̂_b] = iħθ_ab, [p̂_a, p̂_b] = iħσ_ab, [x̂_a, p̂_b] = iħ(δ_ab - ½θ_acσ_cb) 映射到标准海森堡代数。
• 在非对易相空间中，二次拉格朗日量和哈密顿量以时间依赖的矩阵和向量表示，从而实现解析处理。
• 利用二次作用量的标准公式计算路径积分，其中在变换后的对易空间中计算了经典作用量和作用量二阶变分的行列式。
• 将该形式化方法应用于非对易平面上受恒定电场和磁场作用的带电粒子，得到修正的谐振子哈密顿量。
• 引入以物理动量 π̂_a 表示的湮灭和产生算符，从而精确求解能级谱。
• 能量本征求解为 E_n = ħω(n + ½)，其中 ω = (eℬ - σ)(1 - eℬθ/4)/m，显示其对非对易性和磁场的依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将费曼路径积分推广到具有对称位置-动量非对易性的非交换量子力学？
• RQ2 对易与非对易情形下二次拉格朗日量与哈密顿量之间存在何种显式关系？
• RQ3 在恒定电场和磁场作用下，非对易平面上带电粒子的能级谱与标准朗道能级有何不同？
• RQ4 非对易性参数 θ 和 σ 在修正有效频率和能级中的作用是什么？
• RQ5 非对易系统能否被映射到标准量子力学系统，以实现路径积分的解析计算？

主要发现

• 通过线性变换，非对易系统被映射到标准对易系统，从而可使用标准路径积分技术。
• 在非对易相空间中，二次拉格朗日量的路径积分为解析可解，其表达式由经典作用量和作用量二阶变分的行列式构成。
• 对于非对易平面上受恒定磁场和电场作用的带电粒子，能级谱为 E_n = ħω(n + ½)，其中 ω = (eℬ - σ)(1 - eℬθ/4)/m。
• 当 ℬ = σ/e 或 ℬ = 4/(eθ) 时，有效频率 ω 趋近于零，表明存在能级简并的临界磁场值。
• 在强磁场极限下，系统退化为非对易朗道问题，能级间距发散为 -ħe²ℬ²θ/(4m)，与标准朗道能级间距不同。
• 非对易配置空间表现出 [x̂_1, x̂_2] = iħ(2/(eℬ))(1 + θσ/4)，表明在强场下非对易性增强。