[论文解读] Noncommutative Spaces and Gravity

Frank Meyer|ArXiv.org|Oct 21, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 8

一句话总结

本文基于 $\theta$-变形的微分同胚代数，在非对易时空上构建了一套引力理论，其中时空坐标满足 $[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$。通过 Moyal-Weyl $\star$-乘积构造了非对易爱因斯坦-希尔伯特作用量，表明广义相对论的修正项在 $\theta$ 的二阶出现，给出了至 $\mathcal{O}(\theta^2)$ 的变形克里斯托费尔符号、黎曼张量及作用量的显式表达式。

ABSTRACT

This is an introduction to an algebraic construction of a gravity theory on noncommutative spaces which is based on a deformed algebra of (infinitesimal) diffeomorphisms. We start with some fundamental ideas and concepts of noncommutative spaces. Then the $θ$-deformation of diffeomorphisms is studied and a tensor calculus is defined. A deformed Einstein-Hilbert action invariant with respect to deformed diffeomorphisms is given. Finally, all noncommutative fields are expressed in terms of their commutative counterparts up to second order of the deformation parameter using the $\star$-product. This allows to study explicitly deviations to Einstein's gravity theory in orders of $θ$.

研究动机与目标

• 在因坐标非对易而点的概念不成立的非对易时空中，构建一个一致的引力理论。
• 将微分同胚对称性推广为与非对易几何相容的无穷小微分同胚的变形代数。
• 构建一个张量演算与在这些变形对称性下不变的变形爱因斯坦-希尔伯特作用量。
• 将非对易场与几何量用其对易对应物表示，至变形参数 $\theta$ 的二阶。
• 识别出由非对易性在 $\mathcal{O}(\theta^2)$ 阶引起的爱因斯坦广义相对论的显式修正。

提出的方法

• 本文使用时空坐标的 $\theta$-变形，定义为 $[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$，其中 $\theta^{\mu\nu}$ 为常数，以建模非对易时空。
• 采用 Weyl 有序映射 $W$ 将对易函数 $f(x)$ 与非对易算符 $\hat{f} = W(f)$ 关联，确保坐标的对称排序。
• 通过满足 $[\hat{\partial}_\mu, \hat{x}^\nu] = \delta_\mu^\nu$ 且 $[\hat{\partial}_\mu, \hat{\partial}_\nu] = 0$ 的导子 $\hat{\partial}_\mu$ 定义微分演算，保持标准的莱布尼茨法则。
• 使用 Moyal-Weyl $\star$-乘积定义非对易场的乘积，其中 $f \star g = \exp\left(\frac{i}{2}\theta^{\mu\nu}\partial_\mu \otimes \partial_\nu\right)(f \otimes g)$，实现非对易场的乘法。
• 从度量 $g_{\mu\nu}$ 推导出变形克里斯托费尔符号 $\Gamma^{(1)}$ 与 $\Gamma^{(2)}$，其在 $\theta$ 的一阶与二阶有修正，使用含 $\star$-乘积的标准公式。
• 非对易爱因斯坦-希尔伯特作用量构造为 $S_{\mathrm{EH}} = \frac{1}{2}\int \mathrm{d}^4x\, \mathrm{det}_\star e_\mu^a \star (R + \bar{R})$，其中 $\mathrm{det}_\star$ 为 $\star$-行列式，并展开至 $\mathcal{O}(\theta^2)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在满足 $[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$ 的非对易时空中，如何一致地变形微分同胚对称性？
• RQ2 什么样的非对易张量演算结构能保持莱布尼茨法则并与 $\theta$-变形相容？
• RQ3 如何利用 $\star$-乘积与 $\star$-行列式将爱因斯坦-希尔伯特作用量推广至非对易设置？
• RQ4 在变形参数 $\theta$ 的二阶，黎曼曲率与爱因斯坦方程的显式修正为何？
• RQ5 在 $\theta$ 的微扰展开中，非对易场与几何量如何与它们的对易对应物相关？

主要发现

• 变形克里斯托费尔符号 $\Gamma_{\mu\nu}^{(1)\sigma}$ 与 $\Gamma_{\mu\nu}^{(2)\sigma}$ 作为对易连接的修正被推导出，其中 $\Gamma_{\mu\nu}^{(1)\sigma}$ 线性于 $\theta$，而 $\Gamma_{\mu\nu}^{(2)\sigma}$ 为二次项。
• 黎曼曲率张量在 $\mathcal{O}(\theta^2)$ 阶获得修正，$R_{\mu\nu\rho}^{(2)\sigma}$ 显式计算为 $\Gamma^{(1)}$ 与 $\Gamma^{(2)}$ 的导数的组合，包括如 $\frac{i}{2}\theta^{\alpha\beta}(\partial_\alpha \Gamma_{\nu\rho}^{(1)\gamma})(\partial_\beta \Gamma_{\mu\gamma}^{(0)\sigma})$ 的项。
• 非对易爱因斯坦-希尔伯特作用量为 $S_{\mathrm{EH}} = S_{\mathrm{EH}}^{(0)} + \int \mathrm{d}^4x\, (\det e_{\mu}^a) R^{(2)} + (\det_\star e_{\mu}^a)^{(2)} R^{(0)}$，表明修正项在 $\mathcal{O}(\theta^2)$ 阶出现。
• $\star$-行列式 $\mathrm{det}_\star e_\mu^a$ 展开为 $\det e_\mu^a + (\mathrm{det}_\star e_\mu^a)^{(2)} + \dots$，其中二阶项涉及 vierbein 场的二阶导数。
• 作用量在变形微分同胚下不变，且 $\star$-乘积确保 $\star$-乘积的积分等于普通乘积的积分，从而保持作用量形式不变。
• 作用量中奇数阶 $\theta$ 项消失，因此仅偶数阶修正对广义相对论的偏离有贡献，首次非平凡修正出现在 $\mathcal{O}(\theta^2)$ 阶。