[论文解读] Noncommutative vector valued $L_p$-spaces and completely $p$-summing maps

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 1993

Advanced Operator Algebra Research被引用 281

一句话总结

本文提出了一种关于算子空间中非交换向量值 $L_p$-空间的新理论，建立了其对偶性与插值性质。它将完全 $p$-求和映射定义为 $p$-绝对求和映射在算子空间中的类比，推广了 Effros-Ruan 的 $p=1$ 情况，并证明了一个类似 Pietsch 的分解定理，关键结果将这些映射与算子空间 $OH$ 及 Schatten 类联系起来。

ABSTRACT

Let $E$ be an operator space in the sense of the theory recently developed by Blecher-Paulsen and Effros-Ruan. We introduce a notion of $E$-valued non commutative $L_p$-space for $1 \leq p < \infty$ and we prove that the resulting operator space satisfies the natural properties to be expected with respect to e.g. duality and interpolation. This notion leads to the definition of a ``completely p-summing" map which is the operator space analogue of the $p$-absolutely summing maps in the sense of Pietsch-Kwapień. These notions extend the particular case $p=1$ which was previously studied by Effros-Ruan.

研究动机与目标

• 发展一种在算子空间取值的非交换 $L_p$-空间理论，将经典 $L_p$-理论扩展至非交换设定。
• 在算子空间范畴中定义并研究完全 $p$-求和映射的概念，推广经典 $p$-绝对求和映射。
• 为新定义的 $E$-取值非交换 $L_p$-空间建立对偶性与插值性质。
• 证明完全 $p$-求和映射的非交换 Pietsch 分解定理的类比。
• 将完全 $p$-求和范数与 $OH$-分解范数及 Schatten 类范数联系起来，尤其针对 $p=2$ 的情形。

提出的方法

• 通过复插值定义 $S_p[E] = (S_{p_0}[E], S_{p_1}[E])_\theta$，其中 $1 < p < \infty$，$\theta = 1/p$，利用前期工作中的算子空间结构。
• 将 $S_p[E]$ 构造为最小张量积 $S_{\infty}[E] = S_\infty \otimes_m E$ 与 $S_1[E] = S_1 \otimes_\wedge E$ 的复插值。
• 定义映射 $u: E \to F$ 为完全 $p$-求和映射，若 $I_{S_p} \otimes u$ 可有界延拓至 $S_p \otimes_m E \to S_p[F]$，且 $\pi_p^0(u) = \|\tilde{u}\|$。
• 利用 $OH(I)$ 的算子空间结构，并通过同构 $S_2[E] \cong OH(\mathbb{N} \times \mathbb{N} \times I)$ 将 $p=2$ 映射与 $OH$-分解联系起来。
• 证明一个非交换 Fubini 型定理：$S_p[K; S_p[L; E]] \cong S_p[K \otimes_2 L; E]$ 完全等距。
• 通过超乘积建立表示：对任意完全 $p$-求和映射 $u$，存在网 $(a_\alpha), (b_\alpha)$ 在 $S_{2p}(\tilde{H})$ 的单位球内，使得 $\|u(x_{ij})\| \leq \pi_p^0(u) \lim_{\mathcal{U}} \|a_\alpha \pi(x_{ij}) b_\alpha\|_{M_n(S_p(\tilde{H}))}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以保持对偶性与插值性的方式定义在算子空间 $E$ 取值的非交换 $L_p$-空间？
• RQ2 在算子空间范畴中，$p$-绝对求和映射的正确非交换类比是什么？
• RQ3 能否为完全 $p$-求和映射建立类似 Pietsch 的分解定理？
• RQ4 完全 $p$-求和映射如何与算子空间 $OH$ 及 Schatten 类相关联？
• RQ5 在 $n$-维算子空间上，恒等映射的完全 $p$-求和范数的确切值是多少？

主要发现

• 对任意 $n$-维算子空间 $E$，恒等映射的完全 $2$-求和范数满足 $\pi_2^0(I_E) = n^{1/2}$。
• 存在一个完全有界同构 $u: E \to OH_n$，使得 $\|u\|_{cb} \|u^{-1}\|_{cb} \leq n^{1/2}$。
• 存在一个完全有界投影 $P: B(H) \to E$，满足 $\|P\|_{cb} \leq n^{1/2}$。
• 对任意映射 $u: E \to OH(J)$，完全 $2$-求和范数与 $\pi_{2,oh}$-范数一致：$\pi_2^0(u) = \pi_{2,oh}(u)$。
• 对任意映射 $u: OH(I) \to OH(J)$，Hilbert-Schmidt 范数与 $\pi_2^0(u)$ 及 $\pi_{2,oh}(u)$ 一致。
• 映射 $u: E \to F$ 属于 $\Gamma_{oh}(E,F)$ 当且仅当存在 $C > 0$，使得对所有 $n$ 及所有 $v: F \to OH_n$，有 $\pi_2^0((vu)^*) \leq C \pi_2^0(v)$，且 $\gamma_{oh}(u)$ 等于此类最小 $C$。