[论文解读] Noncomputable Spectral Sets

Jason Teutsch|ArXiv.org|Jan 31, 2007

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文引入了谱集——在各种等价关系（如模有限误差相等（*=*）、图灵归约等）下的最小指标集合——证明这些集合是非可计算的，且不属于Σₙ/Πₙ完全集，具有精确的算术层次复杂度。本文建立了最优免疫性结果，并表明谱集是停机问题在适当程序排序下的典范迭代。

ABSTRACT

It is possible to enumerate all computer programs. In particular, for every partial computable function, there is a shortest program which computes that function. f-MIN is the set of indices for shortest programs. In 1972, Meyer showed that f-MIN is Turing equivalent to 0'', the halting set with halting set oracle. This paper generalizes the notion of shortest programs, and we use various measures from computability theory to describe the complexity of the resulting "spectral sets." We show that under certain Godel numberings, the spectral sets are exactly the canonical sets 0', 0'', 0''', ... up to Turing equivalence. This is probably not true in general, however we show that spectral sets always contain some useful information. We show that immunity, or "thinness" is a useful characteristic for distinguishing between spectral sets. In the final chapter, we construct a set which neither contains nor is disjoint from any infinite arithmetic set, yet it is 0-majorized and contains a natural spectral set. Thus a pathological set becomes a bit more friendly. Finally, a number of interesting open problems are left for the inspired reader.

研究动机与目标

• 将谱集的形式化与分析作为超越标准极小性的等价关系下的最小指标。
• 利用算术层次与图灵度对谱集的信息内容进行分类。
• 建立谱集的最优免疫性性质，表明哪些集合无法被包含于其中。
• 探索谱集与停机问题在有效排序下的典范迭代之间的联系。
• 研究在资源受限等价关系（如多项式时间归约）下最小指标的复杂度。

提出的方法

• 将谱集定义为在等价关系∼下的最小指标集合，其中等价类中的每个函数在该集合中恰好有一个代表。
• 引入 a.e.-等价关系（处处几乎相等）以推广极小性，从而导出如 MIN^{a.e.-=}、MIN^{a.e.-*} 和 MIN^{a.e.-m} 等集合。
• 应用表示定理 A.8.1 来刻画这些谱集的算术层次复杂度。
• 使用强迫低性引理推导谱集信息内容的下界。
• 采用免疫性论证与直接构造法（例如使用 ω-INF 和素数幂集合）证明非免疫性结果。
• 分析在各种归约概念（包括多项式时间归约）下的谱集，以定义 MIN^p 并评估其复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 由等价关系（如 *=*、m-归约、T^(n)-归约）定义的谱集的算术层次复杂度是什么？
• RQ2 免疫性特征如何区分不同的谱集？我们能否建立最优的免疫性界限？
• RQ3 MIN^{a.e.-*} 集是否为 Σ₄-免疫？这对其信息内容意味着什么？
• RQ4 谱集如何与在程序有效排序下的停机集典范迭代相关联？
• RQ5 MIN^p（在多项式时间等价下的最小指标集合）的图灵度是什么？

主要发现

• MIN^{a.e.-=} 属于 Π₃ - Σ₃，且不是 Σ₃-免疫，因为它包含一个无限的 Σ₃ 子集。
• MIN^{a.e.-*} 与 MIN^{a.e.-m} 均属于 Π₅ - Σ₅，表明其复杂度高于 MIN^{a.e.-=}。
• MIN^{a.e.-T^(n)} 属于 Π_{n+6} - Σ_{n+6}，表明其复杂度随 n 的增加而系统性上升。
• 强迫低性引理使我们能够推导出信息内容的下界，从而改进基于免疫性的估计。
• 集合 MIN^p（在多项式时间等价下的最小指标）是 Σ₂-免疫，因为它包含 MIN^*。
• 尽管 MIN^{a.e.-*} 集非超免疫，但它们不被任何有限 n 的 MIN^{T^(n)} 所包含，表明其层次结构非单调。