[论文解读] Nonconforming Finite Element Spaces for $2m$-th Order Partial Differential Equations on $\mathbb{R}^n$ Simplicial Grids When $m=n+1$

Shuonan Wu, Jinchao Xu|arXiv (Cornell University)|May 30, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用 13

一句话总结

该论文提出了一类在 $ abla^n$ 中的单纯形网格上求解 $2m$-阶椭圆问题的非协调有限元，当 $m = n+1$ 时，将 Morley-Wang-Xu 元素的适用范围从先前的约束 $m \leq n$ 扩展至更高阶。该方法采用带有体积泡函数的 enriched 多项式形函数，并精心设计自由度，证明了唯一性、可逼近性以及准最优的 $H^3$ 误差估计；此外，还提出了一种针对二维六阶奇异摄动问题的鲁棒 $H^3$ 元素，其最优收敛率在数值实验中得到验证。

ABSTRACT

In this paper, we propose a family of nonconforming finite elements for $2m$-th order partial differential equations in $\mathbb{R}^n$ on simplicial grids when $m=n+1$. This family of nonconforming elements naturally extends the elements proposed by Wang and Xu [Math. Comp. 82(2013), pp. 25-43] , where $m \leq n$ is required. We prove the unisolvent property by induction on the dimensions using the similarity properties of both shape function spaces and degrees of freedom. The proposed elements have approximability, pass the generalized patch test and hence converge. We also establish quasi-optimal error estimates in the broken $H^3$ norm for the 2D nonconforming element. In addition, we propose an $H^3$ nonconforming finite element that is robust for the sixth order singularly perturbed problems in 2D. These theoretical results are further validated by the numerical tests for the 2D tri-harmonic problem.

研究动机与目标

• 将 $2m$-阶 PDE 的非协调有限元框架扩展至超越先前 $m \leq n$ 的限制，该限制曾限制了现有 Morley-Wang-Xu 元素的应用范围。
• 当 $m = n+1$ 时，利用 enriched 多项式形函数与对称自由度，构建一个通用的 $H^m$ 非协调有限元族。
• 通过归纳法与形函数及自由度的相似性性质，证明唯一性、可逼近性与收敛性。
• 为二维三调和问题在破缺 $H^3$ 范数下建立准最优误差估计。
• 为二维六阶奇异摄动问题构造一种鲁棒的 $H^3$ 非协调元，具备 $H^1$-协调性与增强的稳定性。

提出的方法

• 在每个单纯形 $T$ 上，将形函数空间 $P_T^{(n+1,n)}$ 构造为 $\mathcal{P}_{n+1}$ 多项式与 $\mathcal{P}_{n+2}$ 体积泡函数的 enriched 组合。
• 基于顶点、中点与边上的点值、法向导数及梯度的切向导数，定义局部自由度，确保对称性与唯一性。
• 通过维度上的归纳法证明唯一性，利用形函数空间与自由度之间的相似性，推广 Wang 与 Xu (2013) 的方法。
• 证明可逼近性并满足广义片法测试，确保 $H^m$-协调问题的收敛性。
• 在最小正则性假设下，利用 Strang 引理与插值理论，推导破缺 $H^3$ 范数下的准最优误差估计。
• 提出一种改进的 $H^3$ 非协调元，通过增加泡函数以确保二维六阶奇异摄动问题的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Morley-Wang-Xu 非协调有限元框架能否被扩展至超越 $m \leq n$ 的约束，用于单纯形网格上的 $2m$-阶 PDE？
• RQ2 何种形函数空间与自由度可确保在 $m = n+1$ 时的唯一性与收敛性？
• RQ3 在最小正则性假设下，二维非协调 $H^3$ 元素的误差估计可建立为何种形式？
• RQ4 能否为二维六阶奇异摄动问题构造一种鲁棒的非协调 $H^3$ 元素？
• RQ5 理论误差估计与模型问题上的数值表现相比如何？

主要发现

• 所提出的非协调有限元族在 $m = n+1$ 时具有唯一性与收敛性，通过归纳法与形函数对称性得以证明。
• 在破缺 $H^3$ 范数下建立了准最优误差估计，当 $u \in H^5(\Omega) \cap \tilde{H}_0^3(\Omega)$ 时，收敛率为 $O(h)$，与理论预测一致。
• 二维三调和问题的数值测试显示：在 $H^3$ 范数下收敛率为 $O(h)$，在 $L^2$、$H^1$ 与 $H^2$ 范数下收敛率为 $O(h^2)$，验证了理论速率。
• 在具有 $H^{3.5}(\Omega)$ 奇点解的非凸 L 形域上，该方法在破缺 $H^3$ 范数下实现了 $O(h^{1/2})$ 的收敛率，与部分正则性理论一致。
• 改进的 $H^3$ 非协调元对二维六阶奇异摄动问题具有鲁棒性，即使存在边界层效应，仍保持最优收敛率。
• 二维 $H^3$ 元素仅有 12 个局部自由度，比 Hu 与 Zhang (2013) 的元素少三个，表明效率更高。