[论文解读] Nonconforming Finite Volume Methods for Second Order Elliptic Boundary Value Problems

Yuanyuan Zhang, Zhongying Chen|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 2被引用 3

一句话总结

本论文针对二阶椭圆边值问题，基于非协调有限元空间作为试函数，构建了非协调有限体积法（FVM）的统一收敛性理论。在规则网格条件下，针对两种特定格式——Crouzeix-Raviart 和混合 Wilson FVM——建立了在网格依赖的 $H^1$-范数与 $L^2$-范数下的最优误差估计，其收敛阶分别为 $O(h)$ 和 $O(h^2)$。

ABSTRACT

This paper is devoted to analyze of nonconforming finite volume methods (FVMs), whose trial spaces are chosen as the nonconforming finite element (FE) spaces, for solving the second order elliptic boundary value problems. We formulate the nonconforming FVMs as special types of Petrov-Galerkin methods and develop a general convergence theorem, which serves as a guide for the analysis of the nonconforming FVMs. As special examples, we shall present the triangulation based Crouzeix-Raviart (C-R) FVM as well as the rectangle mesh based hybrid Wilson FVM. Their optimal error estimates in the mesh dependent $H^1$-norm will be obtained under the condition that the primary mesh is regular. For the hybrid Wilson FVM, we prove that it enjoys the same optimal error order in the $L^2$-norm as that of the Wilson FEM. Numerical experiments are also presented to confirm the theoretical results.

研究动机与目标

• 为应用于二阶椭圆问题的非协调有限体积法建立一个通用的收敛性框架。
• 解决分析非协调 FVM 时面临的挑战，包括一致有界性、椭圆性以及非协调一致性误差。
• 在统一的 Petrov-Galerkin 框架下，分析两种特定的非协调 FVM：Crouzeix-Raviart 和混合 Wilson FVM。
• 为这些格式推导出在网格依赖的 $H^1$-范数与 $L^2$-范数下的最优误差估计。
• 通过带精确解的 Poisson 问题数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 将非协调 FVM 表述为 Petrov-Galerkin 方法，其中试函数空间为非协调有限元空间，测试函数为对偶剖分上的分片常数函数。
• 基于离散范数不等式、离散双线性形式的一致有界性与一致椭圆性，推导出一般收敛性定理。
• 将该框架应用于 Crouzeix-Raviart FVM，证明非协调误差项恒为零，从而在网格依赖的 $H^1$-范数下实现最优 $O(h)$ 收敛。
• 通过引入结合分片常数函数与试函数空间中线性无关函数的测试空间，对混合 Wilson FVM 进行 $L^2$-范数误差分析。
• 利用 Green 公式与 Cauchy-Schwarz 不等式控制剩余项，建立 $L^2$-误差界。
• 借助网格正则性（最小角条件）控制近似误差，确保最优收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二阶椭圆问题的非协调有限体积法建立统一的理论分析框架？
• RQ2 非协调 FVM 中离散双线性形式的一致有界性与一致椭圆性需满足何种条件？
• RQ3 在分析中如何控制或消除非协调一致性误差？
• RQ4 在规则网格假设下，Crouzeix-Raviart FVM 在网格依赖的 $H^1$-范数下的最优收敛率是多少？
• RQ5 混合 Wilson FVM 是否能达到与相应 Wilson 有限元方法相同的 $L^2$-收敛阶？

主要发现

• 非协调 Crouzeix-Raviart FVM 在网格依赖的 $H^1$-范数下达到最优 $O(h)$ 收敛率，且非协调误差项恒为零。
• 混合 Wilson FVM 在网格依赖的 $H^1$-范数下呈现 $O(h)$ 收敛率，在 $L^2$-范数下为 $O(h^2)$ 收敛率，与相应 Wilson 有限元方法的收敛率一致。
• 数值实验验证了 Crouzeix-Raviart FVM 在 $H^1$-范数下的理论 $O(h)$ 收敛阶，适用于最小内角分别为 $45^\text{circ}$、$\approx18.43^\circ$ 与 $\approx2.86^\circ$ 的多种三角剖分。
• 混合 Wilson FVM 的 $L^2$-误差估计通过适配低阶 FVM 与 Wilson FEM 分析技术获得，在规则网格条件下实现 $O(h^2)$ 收敛。
• 收敛性分析依赖于离散范数不等式，以及利用 Green 公式与 Cauchy-Schwarz 不等式对反应项与梯度项进行有界控制。
• 通过在 $[0,1] \times [0,1]$ 上的 Poisson 问题（精确解为 $u(x,y) = -x(x-1)y(y-1)$）进行数值实验，验证了理论结果，结果显示在网格加密过程中收敛阶保持一致。