[论文解读] Noncontinous additive entropies of partitions

Tomasz Sobieszek|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2012

Functional Equations Stability Results参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过去除连续性假设，扩展了可加划分熵的表征，证明了任何此类熵均可分解为标准熵与源自有界可加集函数到有理数自同态的分量之和。关键贡献在于一个同调结果：凸锥上的对称2-上循环均为上边缘，从而解决了熵分解中的核心函数方程。

ABSTRACT

In a previous paper: A. Paszkiewicz, T. Sobieszek, Additive Entropies of Partitions, we have given a description of additive partition entropies that is real functions $I$ on the set of finite partitions that are additive on stochastically independent partitions in a given probability space. We now present an analogical result, this time without assuming continuity. As a by-product of our efforts we solve a 2-cocycle functional equation for certain subsets of convex cones.

研究动机与目标

• 在不假设连续性的前提下，表征可加划分熵，扩展此前依赖连续性假设的研究成果。
• 求解凸锥上对称函数的2-上循环函数方程。
• 证明在凸锥的某些子集上，所有对称2-上循环解均为上边缘。
• 通过有界可加集函数建立可加划分熵的结构分解，即标准熵与校正项之和。

提出的方法

• 为具有相等P-测度的集合定义映射∆(V, W) ∈ End(R)，满足可加性及关于对称差零测集的不变性。
• 构造一个有界可加集函数m: X → End(R)，在P-零测集上为零，使得∆(V, W) = m(W) − m(V)。
• 在凸锥上引入一个满足置换对称性及广义结合性条件（公式3）的函数f。
• 通过在部分解族上使用佐恩引理，证明存在函数h: M → L，使得f(a₁,…,aₙ) = h(∑aᵢ) − ∑h(aᵢ)。
• 基于Q-线性张量在射线上构造，将局部解扩展至整个凸锥，以满足函数方程(7)：h(a + b) = h(a) + h(b) + f(a, b)。
• 应用该结果表明熵I可分解为I = H_P + L_m，其中H_P为标准熵，L_m为对m(Aᵢ)应用log(1/P(Aᵢ))后的对数和。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设连续性的情况下，是否可完全表征可加划分熵，如以往研究中所做？
• RQ2 在何种条件下，凸锥上的对称2-上循环为上边缘？
• RQ3 在具有特定性质的凸锥上，2-上循环方程的所有解是否均可由单一函数h通过上边缘公式导出？
• RQ4 当不假设连续性时，可加划分熵的结构分解是什么？

主要发现

• 在不假设连续性的情况下，任何可加划分熵I均可分解为I = H_P + L_m，其中H_P为标准熵，L_m源自在P-零测集上为零的有界可加集函数m: X → End(R)。
• 通过在部分解族上使用佐恩引理，证明了在凸锥的某些子集上，所有对称2-上循环解均为上边缘。
• 在f满足给定对称性与结合性条件的前提下，存在函数h: M → L，使得f(a₁,…,aₙ) = h(∑aᵢ) − ∑h(aᵢ)。
• 由熵分解中m-值差值导出的函数f满足广义结合性与置换对称性，确保在不同划分间的一致性。
• 通过在射线与凸锥上扩展局部解，实现了h的构造，利用了生成集M的性质：若a + b ∈ M，则必有a, b ∈ M。
• 该结果表明，熵的L_m分量仅依赖于原子的测度，当且仅当m(A) = α(P(A))对某个固定的α ∈ End(R)成立。